以产品的下限最小化总和

Question

我有一个优化问题，我目前正在通过蛮力解决，但我希望有更好的方法。

问题：给定n和d，找到素数p1^e1, ..., pk^ek（pi s是不同的），以便

1. p1^e1 * ... * pk^ek >= n^d
2. p1^e1 + ... + pk^ek < n很少

我目前的解决方案是迭代所有可能的素数子集（最多一些固定数），然后遍历所有可能的指数（最多一些固定数），然后测试条件1，然后查看总和是否是最小的至今。这需要很长时间。我能做些什么来加快速度吗？

Answer 1

这似乎是knapsack problem。我怀疑它是NP完全的。实际上，如果（d = 1），优化可能等同于保理。

然而，并非所有的背包问题都是NP难的 - 这就是为什么Merkle-Hellman背包密码系统被打破的原因。

Answer 2

通过AM-GM不等式并使用其他约束，您可以得到：

（n / k）^ k＆gt;产品＆gt; = n ^ d

因此n ^（k-d）> K ^ķ。记录到基数n我们得到： k-d> K *日志（K）。由于k <= n（基于总和） k *（1-log（k））＆gt; d

您可以绘制上面的LHS以估算k。