计算复发的复杂性

Question

我无法理解复发的概念。鉴于你有T(n) = 2T(n/2) +1，你如何计算这种关系的复杂性？我知道在mergesort中，关系是T(n) = 2T(n/2) + cn，你可以看到你有一个深度为log2 ^ n且cn在每个级别工作的树。但我不确定如何进行通用功能。有哪些教程可以清楚地解释这个？

Answer 1

你的重现的解决方案是T（n）∈Θ（n）。

让我们扩展公式：

• T（n）= 2 * T（n / 2）+ 1.（给定）
• T（n / 2）= 2 * T（n / 4）+ 1.（将n替换为n / 2）
• T（n / 4）= 2 * T（n / 8）+ 1.（将n替换为n / 4）
• T（n）= 2 *（2 * T（n / 4）+ 1）+ 1 = 4 * T（n / 4）+ 2 + 1.（替代）
• T（n）= 2 *（2 *（2 * T（n / 8）+ 1）+ 1）+ 1 = 8 * T（n / 8）+ 4 + 2 + 1.（替代）< / LI>

做一些观察和分析：

• 我们可以看到一种模式出现：T（n）= 2 ^k * T（n / 2 ^k ）+（2 ^k - 1）。
• 现在，让k = log ₂ n。然后n = 2 ^k 。
• 代入，我们得到：T（n）= n * T（n / n）+（n - 1）= n * T（1）+ n - 1.
• 对于至少一个n，我们需要给T（n）一个具体的值。所以我们假设T（1）= 1。
• 因此，T（n）= n * 1 + n - 1 = 2 * n - 1，其为Θ（n）。

资源：

• https://www.cs.duke.edu/courses/spring05/cps100/notes/slides07-4up.pdf
• http://www.cs.duke.edu/~ola/ap/recurrence.html

但是，对于日常工作，解决这些重复的常用方法是使用Master theorem。