Question

我暂时遇到了一个问题，为此我得出了一个较小的独立示例：

Axiom f : nat -> Set.

Goal forall (n : nat) (e : n = n) (x : f n),
  match e in _ = _n return f _n -> Prop with
  | Logic.eq_refl => fun v : f n => v = x
  end x.

现在，如果您尝试destruct e，则会收到以下错误消息：

Error: Abstracting over the terms "n0" and "e" leads to a term
"fun (n0 : nat) (e : n0 = n0) =>
 forall x : f n0,
 match e in (_ = _n) return (f _n -> Prop) with
 | Logic.eq_refl => fun v : f n0 => v = x
 end x" which is ill-typed.

在我挠了一会儿之后，我无法弄清楚那个词中的错误类型......所以我试过了：

Definition illt :=
  fun (n : nat) (e : n = n) =>
  forall x : f n,
  match e in _ = _n return f _n -> Prop with
  | Logic.eq_refl => fun v : f n => v = x
  end x.

Coq在类型forall n : nat, n = n -> Prop接受它。

那么，这个错误信息有什么问题，我怎样才能解决/调整我的初始目标？

BTW这是coq8.3。如果这是8.4中修复的问题，请告诉我，我的道歉！：）

编辑：要解决Robin Green的评论，以下是错误消息的Set Printing All版本：

Error: Abstracting over the terms "n0" and "e" leads to a term
"fun (n0 : nat) (e : @eq nat n0 n0) =>
 forall x : f n0,
 match e in (@eq _ _ _n) return (f _n -> Prop) with
 | eq_refl => fun v : f n0 => @eq (f n0) v x
 end x" which is ill-typed.

这是一个很好的术语，没有任何暗示。

Answer 1

以下是该问题的可能解释。在构造模式匹配构造时会发生什么，也可以用定理来描述。以下是我对你案例中使用的定理的看法。

Check eq_rect.

eq_rect
 : forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Type),
   P x -> forall y : A, x = y -> P y

因此，当在相等上进行模式匹配时，您必须提供在任何值 y上参数化的公式P，该公式恰好等于x。直观地说，您应该能够用apply eq_rect替换模式匹配表达式，但是应该出现的属性P超出了Coq可以猜到的范围，因为每次出现x公式必须在f n类型中，并且不能只在f m m = n类型中。错误信息没有说明，这可能是一个错误。

为了执行你的证明，我建议使用这样一个事实：在某些类型的类中，相等证明是唯一的，nat属于这样的类。这在文件Eqdep_dec。

中处理

Require Eqdep_dec Arith.

现在你的证据非常容易。

Goal forall n (x : f n) (e : n = n),
  match e in _ = _n return f _n -> Prop with
  | Logic.eq_refl => fun v : f n => v = x
  end x.
intros n x e; replace e with (eq_refl n).
  reflexivity.
apply Eqdep_dec.UIP_dec, eq_nat_dec.
Qed.

现在，这种解决方案可能会令人不满意。这个UIP_dec来自哪里？ UIP代表身份证明的唯一性，遗憾的是，并不保证所有任意类型都具有此属性。对于可以判定相等性的所有类型（由UIP_dec表示），例如nat，保证可以保证。

摘要导致一个术语病态......但是打字很好

1 个答案: