哈密​​顿路径与最短路径

Question

在研究了这两个问题后，我无法断定它们之间的区别。

汉密尔顿路径

哈密顿路径是图形的两个顶点之间的路径，它只访问每个顶点一次。给定图G和两个不同的节点S和E，G中S到E的哈密尔顿路径是否存在？

我发现这个问题是NP-Complete

最短路径

在图论中，最短路径问题是在图中的两个顶点（或节点）之间找到路径的问题，使得其组成边缘的权重之和最小化。 这个问题是P

它们之间的实际区别是什么？他们的复杂程度如何计算？

Answer 1

Hamiltonian Path问题实际上是在图中寻找最长的简单路径。很容易看出这两个问题基本相同（最长的简单路径和哈密顿路径）。这个问题确实是一个经典的NP完全问题。 由于从另一个（已经证明的）NP-硬问题到这个问题的多项式减少，因此是NP完全的，因此（从多项式减少的传递性）这个问题也是NP-Hard。因为它也在NP中，所以它是NP-Complete。

另一方面，最短路径是另一个，它询问从A点到B点的最短方式是什么，并且它在P中，因为有一个多项式时间算法可以解决它（Dijkstra's algorithm，Bellman-Ford，BFS用于非加权图表。

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关于"And how is there complexity calculated?"我假设你的意思是我们如何确定他们的复杂性类 - 在这种情况下，最短路径在P中，因为我们有一个确定性的多项式时间算法来解决它（一些如上所述），而汉密尔顿路径的复杂性类是NP完全的，因为它既是NP-Hard（存在来自另一个已证明的NP-Hard问题的多项式减少），也是NP（我们可以在非多项式时间内很容易地解决它确定性图灵机）。
请注意，我们不知道汉密尔顿路径是否在P中，因为我们不知道是否P=NP。

Answer 2

任何节点之间的最长路径和最短路径之间的区别在于，最短路径问题具有最优的子结构，因此可以通过动态编程解决。最长路径问题没有最优的子结构，因此无法使用动态规划解决。如果可以从子问题的最优解中构造出最优解，那么该问题就具有最优子结构。 example

一个例子就是上面的图表。从q到t的最短路径包括从q到r的最短路径。但是，从q到t的最长路径是q-r-t，从q到r的最长路径是q-s-t-r，这不包括在q-r-t中。这是因为最长路径的子问题不是彼此独立的。从q到r的最长路径是q-s-r-t。从r到t的最长路径是r-q-s-t。这两个问题有重叠部分，因此它们不是独立的，因此该问题没有最优子结构，因此无法通过动态规划或贪婪算法来解决。