Question

最近puzzle blog post关于找到三个均匀间隔的引导我的stackoverflow question带有一个声称在O（n lg n）时间内完成它的最高答案。有趣的是，解决方案涉及平方多项式，引用paper that describes how to do it in O(n lg n) time。

现在，乘法多项式实际上与乘法数相同。唯一真正的区别是缺乏携带。但......承载也可以在O（n lg n）时间内完成。例如：

    var value = 100; // = 0b1100100

    var inputBitCount = value.BitCount(); // 7 (because 2^7 > 100 >= 2^6)
    var n = inputBitCount * 2; // 14
    var lgn = n.BitCount(); // 4 (because 2^4 > 14 => 2^3)
    var c = lgn + 1; //5; enough space for 2n carries without overflowing

    // do apparently O(n log n) polynomial multiplication
    var p = ToPolynomialWhereBitsAreCoefficients(value); // x^6 + x^5 + x^2
    var p2 = SquarePolynomialInNLogNUsingFFT(p); // x^12 + 2x^11 + 2x^10 + x^8 + 2x^7 + x^4
    var s = CoefficientsOfPolynomial(p2); // [0,0,0,0,1,0,0,2,1,0,2,2,1]
    // note: s takes O(n lg n) space to store (each value requires at most c-1 bits)

    // propagate carries in O(n c) = O(n lg n) time
    for (var i = 0; i < n; i++)
        for (var j = 1; j < c; j++)
            if (s[i].Bit(j))
                s[i + j].IncrementInPlace();

    // extract bits of result (in little endian order)
    var r = new bool[n];
    for (var i = 0; i < n; i++)
        r[i] = s[i].Bit(0);

    // r encodes 0b10011100010000 = 10000

所以我的问题是：这里的错误在哪里？在O（n lg n）中乘以数字是计算机科学中一个巨大的开放性问题，我真的怀疑答案就是这么简单。

携带错误，或不是O（n lg n）？我已经知道每个值lg n + 1位足以跟踪进位，算法非常简单，如果它错了，我会感到惊讶。请注意，虽然单个增量可能需要O（lg n）时间，但x增量的总成本为O（x）。
纸张中的多项式乘法算法是错误的，还是有条件我违反了？本文使用快速傅里叶变换而不是数论变换，这可能是一个问题。
40年来，有很多聪明人错过Schönhage–Strassen algorithm的明显变体？这似乎是最不可能的。

我实际上已经编写了代码来实现它，除了有效的多项式乘法（我还不太了解数论变换）。随机测试似乎证实算法是正确的，因此问题很可能在时间复杂度分析中。

Answer 1

问题是如果n是字RAM或bit-RAM模型下的位数，则{O}（n）（n）（n）（n）（n）（n（n））时间内不能实际执行SquarePolynomialUsingFFT步骤。在字RAM模型中（即log（n）位字的常用操作具有单位成本），你只需将n个字吹成n个log（n）字，然后你做一个带O的n（n log） ²（n））时间。在位RAM模型中（位操作具有单位成本），FFT中的每个操作都需要O（log n）时间，因此整个FFT需要O（n log ²（n））时间。

Schoenhage-Strassen的神奇之处在于巧妙地递归选择了FFT，因此你不会进行进一步的log（n）爆炸，而只会进行log（log（n））爆炸。如果你有k个m字环元素（因此k * m = n），你只需要O（m * k log（k））时间来在该环中进行m FFT。然后你必须计算k ^ 2相关的m字卷积如果你这样做，但那很酷;我们可以FFT（使用较小的环）批量处理所有k个m字环元素，进行乘法运算，然后进行反FFT运算。

这个显然是O（n lg n）乘法算法的错误在哪里？

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