证明贪心算法

Question

我最近尝试解决Codeforces上的一个问题我确实得到了正确的解决方案但我现在正试图证明它。算法是这样的：

以最小的折扣并将其应用于最昂贵的折扣，并免费获得两个较便宜的折扣。然后继续做，直到没有物品离开。

我有点坚持证据。如果有人可以通过矛盾给我一个正式的证据，那将是很好的。

Problem！

Answer 1

它分为两部分：

选择哪个折扣？

假设我们选择接受任何其他折扣（m件免费2件）而不是最小件（n件，n<m）：将文章a(1)购买到{ {1}}我们免费获得文章a(m)和b。我们可以采取最小的折扣，购买文章c至a(1)以免费获取a(n)和b，并将商品c购买至{{ 1}}以全价结束同样的情况。因此，选择最小的折扣是最差的，与其他选择相同。

要挑选哪些免费文章？

现在假设我们将折扣应用于商品a(n+1)和a(m)而不是最贵的商品a1和a2（b1或{{1} }）。我们假设b2因为案例是对称的。出现了三种情况：

1. 不知怎的，我们仍然设法免费获得cost(a1)<cost(b1)作为促销的一部分：如果我们还没有选择，我们也可以获得cost(a2)<cost(b2)。
2. 作为折扣的一部分，我们必须付钱。折扣允许我们购买价格高达cost(a1)<cost(a2)的商品。出现以下情况之一：
   • a2：我们可以交换a1和c，这样可以降低此购物篮的成本，而无需更改任何其他内容。
   • c<=cost(a1)：让我们打电话给a1和a2我们从第二次折扣中获得的项目，cost(a2)<=c<cost(a1)是最贵的。我们可以在第一个折扣中选择d作为免费项目，在第二个折扣中将其替换为e，并在第二个折扣中选择d作为免费项目，从而导致较低或等费用。
3. 我们是通过折扣购买的：我们可以选择a2并以较低的费用支付d，而不会更改任何其他内容，因此挑选a1不是最理想的。