我正在练习解决空闲时间的编程问题。我前段时间发现这个问题，但仍然不知道如何解决它：
对于给定的具有n个顶点和m个边的无向图（均小于2×10 6 ） 我需要将其顶点分成尽可能多的组，但需要一个 条件：来自不同组的每对顶点通过边连接。 每个顶点恰好在一个组中。最后我需要知道它的大小 每个小组。
当我想出这个解决方案时，我感到很自豪：考虑原始图的complemented graph并使用Disjoint-set数据结构。它给了我们正确的答案（不难证明）。但这只是理论上的解决方案。在给定的约束下，它非常非常糟糕，不是最优的。但我相信这种方法可以巧妙地修复。但是如何？
有人可以帮忙吗？
编辑：对于顶点为1到7和16个边的图：
1 3
1 4
1 5
2 3
3 4
4 5
4 7
4 6
5 6
6 7
2 4
2 7
2 5
3 5
3 7
1 7
我们有3组大小：1,2和4。
这些组分别为：{4}，{5,7}，{1,2,3,6}。有连接不同组的每对顶点的边缘，我们无法创建更多组。
答案 0 :(得分：0)
我认为你唯一缺少的是如何处理稀疏图。
让我们从找到最大可能的完整图表的角度考虑这一点，我可以做的唯一操作是将一组节点（比如v_1，...，v_k）组合在一起，并将新的超级节点边缘仅提供给那些节点已连接到v_1，...，v_k的所有的u。
如果图形的边缘数少于n ^ 2/4，则随机采样n个节点对，注意哪些对未通过边连接。 Union-find是一种简单的编码方式。现在使用此随机采样找到的集合作为组重建图形。递归这个缩小的图表。 （我不太确定如何分析这一步骤，但我相信每个样本重建周期都会将图形大小至少降低一个常数因子，因此整个过程需要接近线性的时间。）
一旦你有一个相当密集的图形（至少n ^ 2/4边缘），你可以转换为邻接矩阵表示并完全按照你的建议 - 检查所有节点对，每当你看到时就做一个联合两个节点没有被边连接，并读取集合。