用多个递归步骤求解递推方程

Question

我正在研究一些算法，并且我试图确定在形成等式时如何处理多个递归步骤。

所以展览A：

对我来说很明显，这里的递推方程是：T（n）= c + 2T（n / 2），其中大O符号简化为O（n）

然而在这里，我们也有类似的东西，我得到递推方程T（n）= n + 2T（n / 2），因为我们有两个递归调用，与第一个不同，其中大O符号简化为O（n），但这不是这种情况。关于如何在这第二个中得到正确的递推方程的任何输入？

关于如何解决这个问题的任何意见都很棒。

Answer 1

您可能对大师定理感兴趣：

http://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem

递推方程T(n) = n + 2T(n/2)是Theta(n log n)，可以使用该定理导出。要手动执行此操作，您还可以假设n = 2^k并执行：

T(n) = 2T(n/2) + n
     = 2(2T(n/4) + n/2) + n
     = (2^2)T(n/(2^2)) + 2n
     = (2^2)(2T(n/(2^3)) + n/(2^2)) + 2n
     = (2^3)T(n/(2^3)) + 3n
     = ...
     = (2^k)T(n/(2^k)) + kn
     = nT(1) + n log2 n
     = Theta(n log n)