algorithm - 解决复发复发

我会先回想起约瑟夫斯问题。

我们有 n 人聚集在一起。执行者将以下列方式处理圆圈：

通过快速查看此程序，我们可以看到处于偶数位置的每个人都将在第一次运行中被杀死。当所有“偶数”都死了，谁是剩下的人？那么它取决于n的平价。

如果n是偶数（比如n = 2i），那么其余的人是1,3,5，...，2i-1。剩下的问题是我的人而不是n的圈子。让我们在“新”圆圈中的位置和n个圆圈中的初始位置之间引入一个映射图_even。

map _甚至（x）= 2.x - 1

这意味着新圆圈中x位置的人在初始位置的位置为2.x - 1。如果幸存者在新圈子中的位置是J（i），那么某人必须占据的位置才能在n = 2.i人的圈子中生存

map _甚至（J（i））= 2.J（i） - 1

我们有第一个递归规则：

对于任何整数n：
J（2.n）= 2.J（n）-1

但是如果n是奇数（n = 2.j + 1），那么第一次运行最终会杀死所有“均匀”并且执行者处于位置n。 n追随者是1 ...因此，下一个被杀死的是1.幸存者是3,5，...，2j + 1并且刽子手继续进行，好像我们有一个j圈的人。映射与偶数情况略有不同：

map _odd（x）= 2.x + 1

3是新的1，新的2，等等......

如果幸存者在j圈中的位置是J（j），那么想要在n = 2j + 1的圆圈中存活的人必须占据位置J（2j + 1）：

J（2j + 1）= map _odd（J（j））= 2.J（j）+ 1

绘制第二个递归关系：

对于任何整数n，我们有：
J（2.n + 1）= 2.J（n）+ 1

从现在开始，我们可以使用2个递归关系计算 ANY 整数n的J（n）。但如果我们再看一点，我们可以做得更好......

因此，对于每个n = 2 ^k，我们有J（n）= 1.好的，但是对于其他数字？如果你写下第一个结果（比如说n = 20），你会看到序列似乎是伪周期性的：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7

从2的幂开始，似乎位置在每一步增加2，直到下一次2的幂，我们从1再次开始...因为，给定一个整数n，有一个唯一的整数m（ n）这样

2 ^m（n）≤n<2。 2 ^米（N）+1

令s（n）为整数，使得n = 2 ^m（n） + s（n）（我称之为“s”代表“shift”）。我们观察的数学翻译是J（n）= 1 + 2.s（n）

让我们用强感应来证明它对于n = 1，我们有J（1）= 1 = 1 + 2.0 = 1 + 2.s（1）
对于n = 2，我们有J（2）= 1 = 1 + 2.0 = 1 + 2.s（2）

假设任何k的J（k）= 1 + 2.s（k）使得k∈[1，n]，我们证明J（n + 1）= 1 + 2.s（n + 1）

我们有n = 2 ^{m（n + 1）} + s（n + 1）。显然，2 ^m（n）是偶数（除非在n = 1的平凡情况下），因此n的奇偶性由s（n）承担。

如果s（n + 1）是偶数，则我们表示s（n + 1）= 2j。我们有

J（n + 1）= 2.J（（n + 1）/ 2） - 1 = 2.J（2 ^{m（n + 1）-1} + j） - 1

由于该陈述对于任何k∈[1，n]都是正确的，因此1≤k=（n + 1）/ 2 <1。 n因此：

J（n + 1）= 2.（2j + 1） - 1 = 2.s（n + 1）+ 1

我们可以类似地解决奇怪的情况。为任何整数n建立公式：

J（n）= 2.s（n）+ 1，其中m（n），s（n）∈ℕ这是唯一的整数   2 ^m（n）≤n<2。 2 ^m（n）+1和s（n）= n - 2 ^m（n）
  换句话说：m（n）=⌊ln₂（n）⌋和s（n）= n - 2 ^{⌊ln₂（n）⌋< / SUP>}

从一些简单的例子开始，做出猜测，然后使用归纳来（dis）证明你的猜测。

考虑n = 2的幂。

J（2 ^ 0）= 1（给定）

J（2 ^ 1）= 2J（2 ^ 0） - 1 = 1

J（2 ^ 2）= 2J（2 ^ 1） - 1 = 1

好吧，让我们猜测所有n＆gt; = 1的J（n）= 1。

基本情况：J（1）= 1，根据定义为真。

归纳步骤：对于某些任意k，假设J（k）= 1。然后J（2k）= 2J（k）-1 = 1。

因此，通过归纳，对于所有n，J（n）= 1（假设分割舍入为整数）。

J(n)=2*J(n/2)-1

J(n)-1=2*J(n/2)-2

J(n)-1=2*(J(n/2)-1)

T(n)=2*T(n/2)，其中T(n)=J(n)-1

T(n)=2^log2(n)*T(1)

J(n)=2^log2(n)*(J(1)-1)+1