算法复杂度，求解递归方程

Question

我正在学习数据结构和算法课程，我坚持这个递归方程式：

T(n) = logn*T(logn) + n

显然这不能通过使用主定理来处理，所以我想知道是否有人有任何解决这个递归方程的想法。我很确定它应该通过改变参数来解决，比如考虑n为2 ^ m，但我无法找到任何好的修复。

Answer 1

这绝不是官方证明，但我认为是这样的。

关键是+ n部分。因此，T位于o(n)下方。 （或者应该是那个伟大的欧米茄？我生锈了。）所以让我们假设T(n) = O(n)然后去做。

代入原始关系

T(n) = (log n)O(log n) + n
     = O(log^2(n)) + O(n)
     = O(n)

所以它仍然存在。

Answer 2

答案是Theta(n)。要证明某些内容为Theta(n)，您必须显示Omega(n)和O(n)。在这种情况下，Omega(n)显而易见，因为T(n)>=n。要显示T(n)=O(n)，首先

1. 为所有N选择一个大的有限值log(n)^2 < n/100，n>N。这是可能的，因为log(n)^2=o(n)。
2. 为所有C>100选择一个T(n)<Cn常量n<=N。这是可能的，因为N是有限的。

我们将以归纳方式显示所有T(n)<Cn n>N。自log(n)<n以来，通过归纳假设，我们得到：

T(n) < n + log(n) C log(n) 
     = n + C log(n)^2
     < n + (C/100) n 
     = C * (1/100 + 1/C) * n
     < C/50 * n
     < C*n

事实上，对于这个函数，甚至可以使用类似的参数显示T(n) = n + o(n)。