利用潜在解法求解丢番图方程的复杂性

Question

说我有一个等式，给出为

13x + 5y = M，每次给出M.

显然这是一个丢番图方程式，根据具体情况可能需要很长时间才能解决。然而，读数告诉我，如果我们有一组唯一的整数“可能的解决方案”，大小为k，存储在二进制搜索树中的X和Y（意味着X和Y的正确值包含在某处），我们可以在O（k）时间内计算解对（x，y）到等式。

现在，我坚持这个逻辑，因为我没有看到这个数据结构中的存储元素如何帮助我们或阻止我们必须插入X或Y的每个k元素，解决其他变量，并检查数据结构是否包含该变量。我唯一能想到的就是保持两个指针沿树移动，但这似乎不可行。 有人可以解释这种逻辑背后的原因吗？

Answer 1

解决linear Diophantine equations（这似乎是你想到的）是微不足道的，只需要扩展的欧几里德算法。另一方面，Hilbert's tenth problem的成功解决意味着没有能够解决任意丢番图方程的算法。

线性和任意之间存在巨大差距。也许您可以将问题集中在您感兴趣的等式的类型上。