编写一个程序来检查线性方程是否具有正整数解

Question

我正在尝试编写一种算法，以确定线性方程，特别是ax + by = c的形式，对于给定的a，b，c是否具有正整数解。它需要是有效的，因为数字a，b和c可以在0 <= a，b，c <= 10 ^ 16的范围内。我该如何处理这个问题？

由于这是一个丢番图方程，我试图检查a和b的GCD是否除以c，但这样我无法区分正，负或零解。

Algorithm to determine non-negative-values solution existance for linear diophantine equation

我在这里找到了一个解决方案，但我并不太明白。也许有人可以为我简化它？由于这个很通用，我只对2个变量的方程感兴趣。

Answer 1

存在

Bezout's identity确实告诉你，使用a和b的最大公约数（gcd）d，我们有：

  

i）d是可以写成ax + by的最小正整数，以及ii）ax + by形式的每个整数都是d的倍数。

所以你去吧。如果c可以被d分割，你就有了解决方案。

符号

从任何一对解决方案中，我们都可以获得所有其他解决方案。因此，我们可以看出它们是否可以是积极的。仍然来自同一身份，我们得到：

  

当计算了一对Bézout系数（x0，y0）时（例如，使用扩展欧几里得算法），所有对都可以表示形式   

现在我们已经完成了。您所要做的就是：

1. 使用扩展的欧几里德算法，它将为你提供d和一对（x0，y0）的ax + by = d
2. 检查d是否除c。如果不是，则不存在解决方案。如果是这样，将x0和y0乘以（c / d）得到等式的解。
3. 如果x0和y0现在都有相同的符号，那么你就完成了。如果它是积极的，你有积极的解决方案，如果它是负面的，你没有。
4. 如果x0和y0具有不同的符号，请选择最小（绝对值）k来更改负整数的符号。
   • 也就是说，如果x0为负数，则取k = d x0 / b，如果是y0，则取k = -d y0 / a。适当地舍入k以得到与x0（resp.y0）具有不同符号的整数x1（相应的y1）。我认为你应该将它向下舍入（至-infinity），因此要注意负数上的整数除法，它们会向0舍入。
   • 计算(x1,y1) = (x0 - k b/d , y0 + k a/d)
   • 如果它们都是正数，那么您只需找到两个正整数解。如果轻拍一个数字的符号翻转另一个数字，则无法找到正解。

请注意，它与您链接的问题有关，但变量的数量不同。这是因为你只有两个变量。