使用新数据集将n顶点多边形展开为n顶点多边形

Question

有一个带有n个顶点的简单多边形P1，n很小，比方说8.这个多边形应代表某些2D点的周长。

接下来，我们有另一个多边形，我们称之为P2，也有最大顶点数n。 P2接近P1，因此绘制一个新的多边形P3是有意义的，它将同时描述P1和P2的区域。

我正在寻找选择新多边形P3的点的算法。我想描述（仍然，有n点！）尽可能好的P1 + P2的形状：用于创建仍然在新多边形P3内的多边形的点的数量应最大化，但是P3尽可能小。

扩展多边形的过程将在我的应用程序中重复调用。

Answer 1

如果我正确地阅读这个问题，那是不可能的。考虑一个“半圆”，由沿曲线的N个点定义，而在直边上没有。设P1和P2为两个这样的半圆，它们的直边彼此相对：（| |）。显然，唯一包含它们的多边形都包含所有2N点。

更简单的问题（引入一个新顶点并选择一个旧顶点逐出）也是不可能的：考虑一个三角形，以及一个靠近边缘中间的新点。

如果我们放弃了内部任何一个都不会丢失的要求，那么问题就可以解决，但并不完美。我建议您尝试其中一些，看看哪个套房最合适。

• 只需将P1和P2组合成一个2N多边形，然后消除每个其他顶点（d.h.保持顶点2,4,6 ......）。原油，但也许足够好。
• 将两个最近的邻居合并为一个。重复，直到你只剩下N.
• 消除“直线”顶点，直到只剩下N为止。
• 从2N多边形开始，然后通过获取其两个边的交叉积来测量每个顶点对该区域的贡献。如果是正的，则该顶点是凸的并且“保护”大部分内部。如果为负，则这是一个凹面顶点，“排除”大部分外部。现在消除最不重要的顶点。请注意，这是不一种完美的方法，因为消除两个邻居可能会造成比分数所示更多的伤害。

Answer 2

听起来你正试图找到一组具有可接受的点密度的多边形。你考虑过构建一系列convex hulls吗？向外增长，每次添加点时都会构建新的凸包。找到新船体的密度。如果不可接受，请删除该点并选择其他点。达到目标区域或总点数时停止。

这也可以反过来应用。您可以使用初始多边形P1和P2来种植凸包，然后考虑扔掉一个点并计算新的密度。最有用的去除点是最大化密度增加的点。重复直到满意为止。

简单的 O（n log n） convex hull algorithms存在于两个维度。 Qhull是一个不错的C实现。