这个算法的运行时间复杂度是多少

Question

此算法的时间复杂度是什么：

sum = 0
i = 1

while (i < n) {

    for j = 1 to i {
        sum = sum + 1
    }

    i = i*2;
}

return sum

我知道while循环是O(logn)，但for循环的复杂性是多少？是O(n)还是O(logn)？

Answer 1

分析这种方法的一种方法是计算内循环的迭代次数。在第一次迭代中，循环运行一次。在第二次迭代中，它运行两次。它在第三次迭代时运行四次，在第四次迭代时运行八次，更通常在第k次迭代时运行2次 ^k 次。这意味着内循环的迭代次数由

给出

  

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 ^r = 2 ^{r + 1} - 1

其中r是内循环运行的次数。如您所述，r大致为log n，这意味着此求和结果为（近似）

  

2 ^{log n + 1} - 1 = 2（2 ^{log n} ） - 1 = 2n - 1

因此，内循环在O（n）中的所有迭代中完成的总工作量。由于程序总共执行运行外循环的O（log n）工作，因此该算法的总运行时间为O（n + log n）= O（n）。请注意，我们不会将这些术语加在一起，因为O（log n）项是纯粹在维护外循环时完成的工作总量，而O（n）项是纯粹由工作完成的工作总量。内循环。

希望这有帮助！