以整数形式获取线段和2 ^ n网格之间的所有交叉点

Question

我有一条从（x0，y0）到（x1，y1）的线穿过由2 ^ n宽的方形瓷砖制成的网格。我不仅需要找到线相交的瓦片，还需要找到相应的入口和出口点。关于这一切的所有SO问题我可以找到处理“1x1”瓷砖而不关心瓷砖内交叉点的位置。

积分并不总是精确地在一个整数上，在某些情况下我会使用自然地板和其他我想要整理的地方。但是现在让它在所有情况下都能自然发挥作用。但

I found an example最终得到了一个非常简单的使用整数进行光线跟踪的情况，但它并没有跟踪交点，也不适用于通过中心的线条（假设为0.5， 0.5x偏移）的1x1瓦片。

void raytrace(int x0, int y0, int x1, int y1)
{
    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    int x = x0;
    int y = y0;
    int n = 1 + dx + dy;
    int x_inc = (x1 > x0) ? 1 : -1;
    int y_inc = (y1 > y0) ? 1 : -1;
    int error = dx - dy;
    dx *= 2;
    dy *= 2;

    for (; n > 0; --n)
    {
        visit(x, y);

        if (error > 0)
        {
            x += x_inc;
            error -= dy;
        }
        else
        {
            y += y_inc;
            error += dx;
        }
    }
}

如何在找到相交的2 ^ n x 2 ^ n网格图块的同时抓住2个相关交叉点？似乎能够在一块瓷砖中“随处”启动的能力确实会破坏这个算法，而我的解决方案最终会使用除法，并且可能会在每次迭代时累积误差。这不好......

此外，我认为对于第一个和最后一个图块，端点可以被假定为“其他”交叉点。

Answer 1

Woo，Amanatides有一篇有用的文章“Fast Voxel Traversal Algorithm...”。 看一下实际的实现（grid traversal section）。 我用这种方法效果很好。

Answer 2

通过将整个坐标系除以2 ^ n，您可以将2 ^ n X 2 ^ n平铺大小减小到1 X 1 。

准确地说，在我们的情况下，这意味着您将线的起点和终点的坐标除以2 ^ n。从现在开始，您可以将问题视为1X1大小的磁贴问题。在问题的最后，我们将2 ^ n乘以我们的解决方案，以获得2 ^ n X 2 ^ n解决方案的答案。

现在找到每个图块中的入口和出口点的部分。 假设线从（2.4,4.6）开始，到（7.9,6.3）

结束

• 由于线的起点和终点的x坐标是2.4和7.9，因此，它们之间的所有整数值都将与我们的线相交，即x坐标为3,4,5,6的瓦片，7将相交。我们可以使用输入线的等式计算这些x坐标的相应y坐标。
• 类似地，线的起点和终点的y坐标之间的所有整数将导致线和瓦片之间的另一组交叉点。
• 根据x坐标对所有这些点进行排序。现在成对挑选它们，第一个将是入口点，第二个将是出口。
• 将这些点乘以2 ^ n，以获得原始问题的解决方案。

算法复杂度：O（nlog n）其中n是线的起始坐标和结束坐标之间的整数范围。通过微小的修改，这可以进一步减少到O（n）。

Answer 3

在x0..x1范围内插入x的每个整数值，并求解每个y。 这将为您提供瓷砖两侧交叉点的位置。

在y0..y1范围内插入y的每个整数值，并求解x。 这将为您提供瓷砖顶部/底部交叉点的位置。

修改

在处理不同的瓷砖尺寸并从瓷砖内部开始时，代码变得有点丑陋，但想法是一样的。这是C＃中的解决方案（在LINQPad中按原样运行）：

List<Tuple<double,double>> intersections = new List<Tuple<double,double>>();

int tile_width = 4;

int x0 = 3;
int x1 = 15;
int y0 = 1;
int y1 = 17;

int round_up_x0_to_nearest_tile = tile_width*((x0 + tile_width -1)/tile_width);
int round_down_x1_to_nearest_tile = tile_width*x1/tile_width;

int round_up_y0_to_nearest_tile = tile_width*((y0 + tile_width -1)/tile_width);
int round_down_y1_to_nearest_tile = tile_width*y1/tile_width;

double slope = (y1-y0)*1.0/(x1-x0);
double inverse_slope = 1/slope;

for (int x = round_up_x0_to_nearest_tile; x <= round_down_x1_to_nearest_tile; x += tile_width)
{
    intersections.Add(new Tuple<double,double>(x, slope*(x-x0)+y0));
}

for (int y = round_up_y0_to_nearest_tile; y <= round_down_y1_to_nearest_tile; y += tile_width)
{
    intersections.Add(new Tuple<double,double>(inverse_slope*(y-y0)+x0, y));
}

intersections.Sort();

Console.WriteLine(intersections);

这种方法的缺点是，当线条恰好在一个角上与一个瓷砖相交时（即交点的x和y坐标都是整数），那么相同的交点将被添加到列表中。 2 for 循环。在这种情况下，您可能希望从列表中删除重复的交叉点。