贪婪算法优化

Question

我有以下问题：

• 让n个项目。
• 让Fi（x）等于您花费的积分数 x项目的时间单位i。
• 您有T个单位的时间可以使用并处理您想要的任何项目 等。

目标是最大化您将获得的积分数，且F函数不会减少。

F函数的边际收益递减，换句话说，在特定项目上花费x + 1个单位的时间，从该项目获得的总积分的增加少于在项目上花费x个单位时间。

我已经提出了以下O（nlogn + Tlogn）算法，但我应该找到一个在O（n + Tlogn）中运行的算法：

sum = 0
schedule[]
gain[] = sort(fi(1))

for sum < T
    getMax(gain) // assume that the max gain corresponds to project "P"
    schedule[P]++
    sum++
    gain.sortedInsert(Fp(schedule[P] + 1) - gain[P])
    gain[P].sortedDelete()

return schedule

也就是说，需要O（nlogn）对初始增益数组进行排序，并使O（Tlogn）运行循环。我已经考虑过这个问题而不是我承认并且无法想出一个可以在O（n + Tlogn）中运行的算法。

Answer 1

对于第一种情况，使用堆，构建堆将花费O（n）时间，并且每个ExtractMin＆amp; DecreaseKey函数调用将花费O（logN）时间。

对于第二种情况，构造一个nXT表，其中第i列表示情况T = i的解。第i + 1列应该仅取决于第i列和函数F上的值，因此可以在O（nT）时间内计算。我没有彻底考虑所有案例，但这应该给你一个良好的开端。