一系列线段的最佳交集？

Question

我有许多2D线段，它们都应该在一个点上相交，但不会因为计算中较早的噪声而无法减少。

是否有算法计算所有线段交叉点的最佳近似值。类似于所有线段的最小平均距离点不一定位于任何线段上的点？

Answer 1

阿米特的第一个评论是你的回答。我会解释原因。

让p_i成为你的交点和c = 1/n sum(p_i)。我们假设c最小化d(a)和任意点p_i之间的平均距离a：

d(a) = 1/n sum( |a-p_i|^2 )  

d(a)中的平均值是，使用内积标记，

|a-p_i|^2 = <a-p_i, a-p_i> = |a|^2 + |p_i|^2 - 2<a,p_i>`

使用点积的双线性属性，<a,p_i>的平均值仅为<a,c>。所以，

d(a) = |a|^2 - 2<a,c> + 1/n sum( |p_i|^2 )

同样

d(c) = |c|^2 - 2<c,c> + 1/n sum( |p_i|^2 ) = -|c|^2 + 1/n sum( |p_i|^2 )

减去两个

d(a) - d(c) = |a|^2 - 2<a,c> + |c|^2 = |a-c|^2

因此，向两边添加d(c)，到任意点a的平均距离为

d(a) = d(c) + |a-c|^2

，因为当|a-c|^2为零时，所有术语都是正数，换句话说，当a = c时。{/ p>

Answer 2

如果我们可以自由选择指标，则平方距离之和可以提供简单的算法。

我们可以将点#i的距离的平方表示为点坐标的函数，我们将得到(A[i]x,x)+(b[i],x)+c[i]，A[i]是矩阵3x3，b[i] - 向量，{{1数字，（a，b） - 标量乘法。

他们的总和将是c[i]。

此类功能的最小值为(A[sum]x,x)+(b[sum],x)+c[sum]。