Question

我遇到了一个常见的编程访谈问题：给定一个无符号整数列表，找到一个在列表中出现奇数次的整数。例如，如果给出列表：

{2,3,5,2,5,5,3}

解决方案将是整数5，因为它在列表中出现3次，而其他整数出现偶数次。

我的原始解决方案涉及设置一个排序数组，然后迭代数组：对于每个奇数元素，我会添加整数，而对于每个偶数元素，我会减去;结束总和是解决方案，因为其他整数将取消。

但是，我发现只需在每个元素上执行XOR就可以获得更高效的解决方案 - 您甚至不需要排序数组！也就是说：

2^3^5^2^5^5^3 = 5

我从Discrete Structures类回忆起，我认为Associate Property适用于XOR操作，这就是这个解决方案有效的原因：

a^a = 0

和

a^a^a = a

虽然我记得关联属性适用于XOR，但我很难找到特定于XOR的此属性的逻辑证明（因特网上的大多数逻辑证据似乎更侧重于AND和OR操作）。有谁知道为什么关联属性适用于XOR操作？

我怀疑它涉及包含AND和/或OR的XOR身份。

Answer 1

关联属性表示(a^b)^c = a^(b^c)。由于XOR是按位的（数字中的位是并行处理的），我们只需要考虑单个位的XOR。然后可以通过检查所有可能性来完成证明：

abc (a^b) (a^b)^c (b^c) a^(b^c)
000   0      0      0      0
001   0      1      1      1
010   1      1      1      1
011   1      0      0      0
100   1      1      0      1
101   1      0      1      0
110   0      0      1      0
111   0      1      0      1

由于第三列(a^b)^c与第五列a^(b^c)相同，因此关联属性成立。

Answer 2

只要a ^ b == ~a & b | a & ~b，就可以证明：

(a ^ b) ^ c = ~((~a & b) | (a & ~b)) & c | ((~a & b) | (a & ~b)) & ~c

和

a ^ (b ^ c) = a & ~((~b & c) | (b & ~c)) | ~a & ((~b & c) | (b & ~c))

等于。

异或的关联性质的逻辑证明

2 个答案: