寻找点，与线上所有其他点的距离总和最小

Question

我一直想知道是否有可能以递归或“分而治之”的方式解决这个问题。 这是我的问题的可视化：

Input:
22 // point no 1
35 // point no 2
5  // ...
44
45
20
46

Output: 2 // point with number 2 has got the lowest sum (87)

我知道如何以迭代的方式做到这一点，但我正在考虑更优化的事情。

Answer 1

这称为median值。只需对值进行排序并选择中心。如果n是偶数，则两个中心值中的任何一个都可以。

还有O(n) algorithms来计算中位数。

Answer 2

答案说解决方案是median是正确的，但可以有

多种解决方案

如果积分均匀： p ₁ ＆lt; ... p _n ＆lt; p _{n + 1} ＆lt; ......＆lt; p _2n ，对于 x 的任何点，距离之和将是最小的，其中* p _n ≤x≤p _{n + 1}

要理解中位数的工作原理，请考虑这个

说明

假设我们有n个点，其中 p _i ＆lt; p _{i + 1} 适用于所有适用的i。

天真，我们可能认为 x = p ₁ 是最小化和 S 的最佳选择。将 x 增加一，总和 S 会发生什么？我们离 p ₁ 更远1，但距其他所有点更近。

因此， S _{p 1 + 1} = S _{p 1} + 1 - （n - 1）

总和继续以这种方式改变，直到 x = p ₂ ：斜率 1 - （n - 1）= 2 - n 通过点 p ₂ 后，斜率变为 2 - （n - 2）= 4 - n ，之后 6 - n ，然后 8 - n 等

很容易看出，在我们经过的每个点上，坡度总是增加2：接近点的数量减少一个，移动的点数量增加一个，因此斜率变化为2。

在某些时候，斜率将从负值变为

• 正面 - 在奇数点的情况下
• 零 - 在偶数个点的情况下

很容易看出，当存在均匀的点数时，斜率将在某个点处为零：
p ₁ ＆lt; p ₂ ＆lt; ... p _n ＆lt; p _{n + 1} ＆lt; ... p _{2n - 1} ＆lt; P <子> 2n个 的

如果我们位于 p _n 和 p _{n + 1} 之间，则数量相等左侧和右侧的点数。这意味着，当我们在这两个点之间移动时，相同数量的点 - n ，确切地说 - 更接近并且距离更远，因此总和 S _{p < sub> n} ＆lt; = x＆lt; = p _{n + 1} 保持不变。

如果存在奇数个点， p _{（n + 1）/ 2} 标记最小值，因为它是斜率从负值变为正。