选择一个点，使其与集合中的其他点之间的距离之和最小化

Question

我读了post，其中谈到了几乎相同的问题。但在这里我简化了问题，希望可以提供具体的证据。

有一组A包含一些离散点（1维），如{1, 3, 37, 59}。我想从A中选择一个点，这可以最小化这一点与其他点之间的距离之和。

可能会有很多帖子，而我的问题只是那些1-d版本，如果A不是离散的，我知道如何证明它，但是当{ {1}}如上所述是离散的。

Plz为我提供了具体证明的答案，谢谢。

Answer 1

不是严格（甚至松散）的数学证明，如果这是你需要的，你最有可能在错误的地方提问：）

让我们调用一维坐标x，让我们说提升x正在向右移动。您要找的是mx。

• 如果mx右侧的点数多于左侧，则向右移动mx会将距离的距离提高到左侧的点数并将其降低到向右的点越多，这将降低平均距离。

• 换句话说，mx左边的点数少于右边的点数，如果有的话，有一种方法可以降低平均值。

反过来也是如此。

如果元素的数量是奇数，则满足上述要求的唯一点是中位数。

如果元素的数量是偶数，则两个中间元素之间的任何点都将满足条件。

Answer 2

由于在点之间总距离函数是线性的并且距离函数在任何地方都是连续的，因此必须在集合中的一个点处获得最小值。因此，您可以将A限制在给定集合中。

以下是点{-3,1,2,5}的总距离函数图表示例：

说左边是L点，A是右边的R.

向右移动一个点会将距离改为d *（L + 1 - R）（其中d是到下一个点的距离）。同样，向左移动一个点会使距离改变d *（R + 1 - L）。

最小化| L-R |的点是这个距离最小化的地方。这可能是中位数（如果它在集合中），或者是中间的两个相邻点中的任何一个，如果不是。

Answer 3

考虑Fastest way to find minimum distance between points问题，请尝试查看closest pair of points problem。