我知道我可能应该在math.stackexchange中提出这个问题，但答案主要是“笔纸”类型。我需要一种有效的方法来实现，这就是我在这里问的原因。
问：给出2分A＆amp; B和线L.点和线是3D。如何在给定线L上找到与给定点A和A等距的点。乙我遵循的方法是：
找到平面P，垂直于AB线并穿过A＆amp;的中心。乙
P和L的交点就是答案。
我正在处理大型数据集（一个三维图像），并且进行上述计算涉及大量数据。乘法和除法（总计）。
那么有更好的方法吗。
工作代码会非常有用。
提前致谢。
答案 0 :(得分：1)
TL; DR。解决方案位于底部。
好的，我们说这些是我们的参数：
x 0 和 x 1 ，描述这条线。
a 和 b ，这两点。
哪里
x 0 = [x 0 ，y 0 ，z 0 < /子>]
x 1 = [x 1 ，y 1 ，z 1 < /子>]
a = [x a ，y a ，z a ]
b = [x b ，y b ，z b ]
δ = [δ x ，δ y ，δ z ] =（ x 1 - x 0 ）
然后我们对线的描述可以看作是参数函数：
l（λ）= x 0 +λ*（ x 1 - X <子> 0 ）
因此，我们试图找到满足以下等式的λ值：
（l（λ） - a ） 2 =（l（λ） - b ） 2 < / SUP>
（这里我有点作弊，所以 x 2 = x 。 x 的）
扩大我们得到的一切：
（λx 1 +（1 - λ）x 0 - x a ） 2 +
（λy 1 +（1 - λ）y 0 - y a ） 2 +
（λz 1 +（1 - λ）z 0 - z a ） 2 =
（λx 1 +（1 - λ）x 0 - x b ） 2 +
（λy 1 +（1 - λ）y 0 - y b ） 2 +
（λz 1 +（1 - λ）z 0 - z b ） 2
简化，我们得到：
（λδ x + x 0 - x a ） 2 +
（λδ y + y 0 - y a ） 2 +
（λδ z + z 0 - z a ） 2 =
（λδ x + x 0 - x b ） 2 +
（λδ y + y 0 - y b ） 2 +
（λδ z + z 0 - z b ） 2 < / p>
扩展括号并取消，我们得到：
-2δ x x a λ+（x 0 - x a ） 2 +
-2δ y y a λ+（y 0 - y a ） 2 +
-2δ z z a λ+（z 0 - z a ） 2 =
-2δ x x b λ+（x 0 - x b ） 2 +
-2δ y y b λ+（y 0 - y b ） 2 +
-2δ z z b λ+（z 0 - z b ） 2
我们可以进一步简化为一些漂亮的矢量操作：
2λδ。（ x b - x a ）= （ x 0 - x b ） 2 - （ x 0 - x a ） 2
使用一个独特的解决方案重新排列以获得λ中的线性方程非常简单。
答案 1 :(得分：1)
如果线L由参数矢量方程
描述P=C+t*D
（其中C是一些基点，D是方向矢量，t是参数）
那么点P与给定点A和A的距离是等距的。 B，当从P到A-B区段中间的向量垂直于AB向量。因此，这些向量的标量积为零。
(B-A)*(C+t*D-(A+B)/2)=0
让＆＃39; S
F=B-A
G=C-(A+B)/2
然后（以坐标形式）
Fx*(Gx+t*Dx)+Fy*(Gy+t*Dy)+Fz*(Gz+t*Dz)=0
t*(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)=-(Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz)
t=-(Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz)/(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)
(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)=0的情况对应于垂直线AB和L.在这种情况下，当分子(Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz)非零时，没有解，并且如果指数为零，则存在无限的解（所有在线点是等距的）
答案 2 :(得分：0)
你可以求解方程组来得到答案。 3D中的一条线是这样的：
x = x<sub>0</sub> + t * v<sub>x</sub>
y = y<sub>0</sub> + t * v<sub>y</sub>
z = z<sub>0</sub> + t * v<sub>z</sub>
让我们来表示我们正在搜索的P点。现在我们有：
（P x - A x ） 2 +（P y - A y < / sub>） 2 +（P z - A z ） 2 =（P x < / sub> - B x ） 2 + （P y - B y ） 2 +（P z - B z ） 2
请注意，虽然所有这些方程似乎都是四次方，但是P x 的平方我们会被划伤，因为它出现在等式的两边。现在使用这个方程组和上面的方程来找到三个变量P x ，P y 和P z 。