Question

这是关于我的数据结构作业的问题之一：

假设我们有一个线性时间过程，保证为Quicksort找到一个pivot元素至少1％的阵列小于或等于枢轴，并且至少1％大于或等于枢轴。表明Quicksort将具有最坏情况复杂度O（n lg n）。

我知道快速排序的最坏情况一般是O（n ^ 2）。我读到，当所选枢轴的所有值都是所采集的最大值或最小值时，就会发生这种情况。

我的猜测是，由于给定条件，至少1％的数组更大，并且阵列的至少1％小于枢轴，这消除了枢轴是最小或最大元素的情况在集合中。因此它永远不会是O（n ^ 2）

这听起来不错吗？

Answer 1

此类问题的主要关键是显示只有O（log（n））步骤。

理想的快速排名递归

T(N) = 2T(N/2) + O(n)

我们可以通过主定理很容易地证明是O（NlogN）。

O（n）项是递归树的每个级别的因子;此外，在理想情况下，必须在每个级别处理所有元素;即使从技术上讲，大多数元素都会使递归树的位置远远超过其他元素，我们可以假设没有渐近损失，“最坏情况”会发生，并且所有元素都在每个级别处理。因此，我们必须做的就是证明在给定的假设下，递归树中最多有O（log（N））个步骤。

根据您的假设进行Quicksort递归：

T(N) = T(N/100) + T(99N/100) + O(n).

我们可以假设WLOG，一旦递归树的单个分支中有99个或更少的元素，最多只会发生一定数量的操作来对它们进行排序（因此，O（1）* O（n）= O（n）操作发生在底层;递归树既不收缩也不增长。

那么，我们如何证明整个树中的最大步数？好吧，我们遵循最不幸的元素！假设我们从N个元素开始。根据我们的假设，应该有50到99个元素，这些元素构成了我们实际关注的递归树级别最后一步的最大分支。他们所获得的最糟糕的操作都是99％的一部分。

因此，我们最多有99个元素由X迭代形成，被削减1％。这应该看起来像您之前应该看到的不同的递归树，即“几何减少”树。至于数学：

99 = N*(.99)^X
99/N = (1/.99)^-X
(1/.99)^X = N/99
log_(1/.99) (1/.99)^X = log_(1/.99) N/99
X = log_(1/.99) N/99

正如您所看到的，右侧的术语是O（log（N））。所以这是递归级别的最大数量，每个级别最多都是O（N）工作，所以总工作量是O（Nlog（N））。

我不确定你是否想要更严谨（从头开始解释真正的递归证明是很多工作），但这对大多数大学来说都是可以接受的......

如何证明Quicksort是否具有特殊条件的O（n * lg n）？

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