在图中匹配

Question

如何找到最大基数匹配大小为n / 4的图表？或者说n / 3？这里，n表示图中顶点的数量。连接图是否可能？

Answer 1

最简单的例子是complete bipartite graph K_m,n。要将匹配大小调整为某个比例（|V|/k），n应为(2*k-1)*m，从那时起|V| = n + m = 2*k*m，匹配大小为2*m。

Answer 2

您可以根据Tutte Berge formula构建此类图表。使用此方法，您可以构建一个最大匹配大小为n / 4的图形，如下所示。设V是图中的顶点集，让U为顶点的任何子集。找到一个数k，使k- | U | ＆gt; = | V | / 2。从V-U构造奇数大小的组件C1，C2，...，Ck（彼此不相交），并将每个Ci的任意一组边添加到U的顶点。

请注意，C1，...，Ck应该是我们在删除U时得到的奇数组件。{U，C1，...，Ck}中的其他顶点可以以任何方式连接到以上约束。