大哦分析运行时间？

Question

对于以下每个程序片段，请对运行时间进行Big-Oh分析。我有两个问题，我不是100％肯定，如果有的话，有人可以帮助我

片段1：

for( int  i  =  0;  i  <  n;  i++ )
      for(  int  j  =  0;  j  <  n  *  n;  j++ )
            for(  int  k  =  0;  k  <  j;  k++ )
                 sum++;

答案：O（n ^ 5）不确定n * n ??

片段2：

for(  int  i  =  1;  i  <=  n;  i++ ) 
        for(  int  j  =  1;  j  <=  i  *  i;  j++ )
                             if (j % i == 0)
                   for(  int k  =  0;  k  <  j;  k++)
                  sum++;

答案：为O（n ^ 4）

Answer 1

每个循环分解问题空间。从最外层循环开始。真正的循环是什么？

对于第一个问题，我们有以下模式。

• 外部循环将 n 次。
• 外部内部循环将运行 n ² 次，并且不受内部循环的当前值的约束。
• 最里面的循环将运行到 j 次，这将使其受到外部内循环的当前值的约束。
• 您的所有步骤都是线性块，这意味着您将以线性方式从0到达结束条件。

以下是求和的实际情况。

那么，这会转化为什么？你必须展开总和。但是，它不会是O（n ⁵ ）。

对于第二个问题，我们有以下模式。

• 外部循环运行至 n 次。
• 外部内环循环至 i ² 次。
• 在j % i == 0的条件下，最里面的循环运行到 j 次。这意味着最里面的循环不是每隔时间执行。

我会留下这个问题让你解决。你必须采取展开总和并将它们减少到代数对应物的方法。

Answer 2

片段1的

：

 lets say m = n^2
 Sigma(i=0...n)  m Sigma(j=0.....m) j
 => n * (m(m+1)/2)
 => n ^ 5

答案：O（n ^ 5）

片段2的

：

last loop runs for i-1 times ...
Sigma(i=0...n)  Sigma(j=0.....i-1) Sigma(k=0.....j) k
approximately its Sigma(i=0...n) i^2 
~=> n^3

答案：为O（n ^ 3）