一种O（n * log（n））算法，用于找到具有最低斜率的段（在n * n个段中）

Question

给定 n ^{的不同点的 P = {p ₁ ，...，p _n } 2} 行，编写一个算法，在最坏的情况下找到具有最低斜率（最小绝对值）且具有O(n*log(n))时间复杂度的行。

Answer 1

根据y位置对点进行排序（使用任意数量的众所周知的算法，n log n time）。按顺序浏览列表，从0到n - 1，比较每个点对的斜率与您发现的任何斜率到目前为止的最低斜率。 （那是时间）。

总的来说，那就是O（n log n）。

在伪代码中：

Let P be the list of points (this list starts at 1)
n = P.length
S = quicksort("a.y < b.y", P) // or some other O(n log n) algorithm
bestSlope = float.inf
let p1 and p2 be points
for i = 1 to n-1:
    currSlope = abs((P[i].y - P[i+1].y) / (P[i].x - P[i+1].x))
    if currSlope < bestSlope:
        bestSlope = currSlope
        p1 = P[i]
        p2 = P[i+1]

Answer 2

定理：

• 给出一组点P。
• 在P中选择两个点A和C，使得AC线具有最小的绝对斜率（如问题中所定义）。
• 对于多对点具有相同斜率的退化情况，让AC成为具有该斜率的最短线段。
• 然后P中没有其他点，A和C之间有Y坐标。

证明（矛盾）：

• 假设至少有一个其他点B，其Y坐标介于A和C之间。
• 然后存在三种可能的情况：
  • B与A和C共线。然后，线AB或BC具有与AC相同的斜率，但它们的两个都比AC短。矛盾。
  • B落在“AC”上方的半平面上。然后，线AB具有比AC更浅的斜率。矛盾。
  • B落在“AC”下方的半平面上。然后，线BC具有比AC更浅的斜率。矛盾。
• 所有情况都会导致矛盾，因此A和C之间不会出现任何分数。
• QED。

根据这个定理，您可以清楚地使用@ Zshazz算法找到正确的对 - 因为它们将是最近邻居 - O(n*log n)。