Question

我想证明下面的引理。我试图使用战术'破坏'，但我无法证明这一点。请任何身体指导我如何证明这样的引理。我可以为EmptyString证明它，但不能为变量s1和s2证明。感谢

Inductive nat : Set :=
  | O : nat
  | S : nat -> nat.

  Inductive string : Set :=
  | EmptyString : string
  | String : ascii -> string -> string.

  Fixpoint CompStrings (sa : string) (sb : string) {struct sb}: bool :=
  match sa with
  | EmptyString => match sb with
                  | EmptyString => true
                  | String b sb'=> false
                  end
  | String a sa' => match sb with
                   | EmptyString => false
                   | String b sb'=> CompStrings sa' sb'
                   end
 end.

 Lemma Eq_lenght : forall (s1 s2 : string), 
                 (CompStrings s1 s2) = true -> (Eq_nat (length s1) (length s2)) = true.

Answer 1

首先，让我争论风格。您可以将CompStrings函数编写为：

Fixpoint CompStrings' (sa : string) (sb : string) {struct sb}: bool :=
  match sa, sb with
  | EmptyString,  EmptyString => true
  | EmptyString,  _
  | _,            EmptyString => false
  | String a sa', String b sb'=> CompStrings sa' sb'
  end.

我觉得它更容易阅读。这是一个证据，它与你的相同，以防你怀疑：

Theorem CompStrings'ok: forall sa sb, CompStrings sa sb = CompStrings' sa sb.
Proof.
  intros. destruct sa, sb; simpl; reflexivity.
Qed.

现在，这将是一个双重答案。首先，我只是暗示你向证明方向发展。然后，我会给你一个完整的证明，我鼓励你在自己尝试之前不要阅读。

首先，我假设了length的这个定义，因为你没有提供它：

Fixpoint length (s: string): nat :=
  match s with
  | EmptyString => O
  | String _ rest => S (length rest)
  end.

由于我也没有Eq_nat，我开始证明长度在命题上相等。适应Eq_nat应该是相当微不足道的。

Lemma Eq_length' : forall (s1 s2 : string),
  CompStrings s1 s2 = true ->
  length s1 = length s2.
Proof.
  induction s1.
  (* TODO *)
Admitted.

所以这是开始！您想要证明有关归纳数据类型字符串的属性。问题是，您需要通过案例分析来进行，但如果您只是使用destruct s进行，它将永远不会结束。这就是为什么我们继续induction。也就是说，您需要证明if s1 is the EmptyString, then the property holds和if the property holds for a substring, then it holds for the string with one character added。这两种情况相当简单，在每种情况下，您都可以通过s2上的案例分析（即使用destruct）继续。

请注意，在intros s1 s2 C.之前我没有induction s1.。这一点非常重要，原因如下：如果你这样做（试试！），你的归纳假设就会受到限制，因为它会谈论一个特定的s2，而不是由它量化。当您开始通过归纳进行校样时，这可能会非常棘手。所以，一定要尝试继续这个证明：

Lemma Eq_length'_will_fail : forall (s1 s2 : string),
  CompStrings s1 s2 = true ->
  length s1 = length s2.
Proof.
  intros s1 s2 C. induction s1.
  (* TODO *)
Admitted.

最终，您会发现您的归纳假设无法应用于您的目标，因为它是关于特定s2的。

我希望你们尝试过这两个练习。

现在，如果你遇到困难，这是证明第一个目标的一种方法。

不要作弊！：）

Lemma Eq_length' : forall (s1 s2 : string),
  CompStrings s1 s2 = true ->
  length s1 = length s2.
Proof.
  induction s1.
  intros s2 C. destruct s2. reflexivity. inversion C.
  intros s2 C. destruct s2. inversion C. simpl in *. f_equal.
  exact (IHs1 _ C).
Qed.

将其置于可理解的术语中：

让我们通过s1：
的归纳来证明属性forall s2, CompStrings s1 s2 = true -> length s1 = s2
- 在s1是EmptyString的情况下，让我们看一下s2的形状：
  1. s2是EmptyString，那么两个长度都等于0，所以reflexivity.;
  2. s2是String _ _，所以假设中存在矛盾，由inversion C.显示;
- 在s1是String char1 rest1的情况下，让我们看一下s2的形状，假设该属性为休息时为真：
  1. s2是EmptyString，所以假设中存在矛盾，由inversion C.显示;
  2. s2是String char2 rest2，然后是length s1 = S (length rest1)和length s2 = S (length rest2)，因此我们需要证明S (length rest1) = S (length rest2)。此外，假设C简化为C: CompStrings rest1 rest2 = true。这是使用归纳假设来证明length rest1 = length rest2，然后以某种方式使用该结果来证明目标的完美场合。

请注意，对于最后一步，有许多方法可以继续证明S (length rest1) = S (length rest2)。其中一个是使用f_equal.，它要求您证明构造函数的参数之间成对相等。您也可以使用rewrite (IHs1 _ C).然后在该目标上使用反身性。

希望这不仅可以帮助您解决这一特定目标，还可以通过归纳获得对证据的初步了解！

关闭此页面，这里有两个有趣的链接。

This presents the basics of induction (see paragraph "Induction on lists").

This explains, better than me, why and how to generalize your induction hypotheses.您将使用策略intros s1 s2 C.了解如何通过在开始归纳之前将s2放回目标中来解决我generalize (dependent)所做的目标{{1}}

一般情况下，我建议您阅读whole book。它节奏缓慢且很有说服力。

基于函数证明引理含义

1 个答案: