Question

我正试图证明基于以下定义的引理。

Section lemma.

Variable A : Type.
Variable P : A -> Prop.

Variable P_dec : forall x, {P x}+{~P x}.

Inductive vector : nat -> Type :=
  | Vnil : vector O
  | Vcons : forall {n}, A -> vector n -> vector (S n).

  Arguments Vcons {_} _ _.

Fixpoint countPV {n: nat} (v : vector n): nat :=
match v with
| Vnil => O
| Vcons x v' => if P_dec x then S (countPV v') else countPV v'
end.

我要证明的引理如下

Lemma lem: forall (n:nat) (a:A) (v:vector n), 
      S n = countPV (Vcons a v) -> (P a /\ n = countPV v).

我已经尝试了很多事情，目前我正在努力。

Proof.
  intros n a v.
  unfold not in P_dec.
  simpl.
  destruct P_dec.
  - intros.
    split.
    * exact p.
    * apply eq_add_S.
      exact H.
  - intros.
    split.

此时的上下文：

2 subgoals
A : Type
P : A -> Prop
P_dec : forall x : A, {P x} + {P x -> False}
n : nat
a : A
v : vector n
f : P a -> False
H : S n = countPV v
______________________________________(1/2)
P a
______________________________________(2/2)
n = countPV v

我的问题是，我似乎被两个无法证明的子目标卡住了，可用的上下文似乎没有帮助。谁能为我提供一些前进的指针？

编辑：

我通过与H矛盾证明了引理：

assert (countPV v <= n).
* apply countNotBiggerThanConstructor.
* omega.
Qed.

countNotBiggerThanConstructor在哪里：

Lemma countNotBiggerThanConstructor: forall {n : nat} (v: vector n), countPV v <= n.
Proof.
  intros n v.
  induction v.
  - reflexivity.
  - simpl.
    destruct P_dec.
    + apply le_n_S in IHv.
      assumption.
    + apply le_S.
      assumption.
Qed.

Answer 1

请注意，H不可能为真。这是一件好事，如果您可以证明错误，则可以证明任何事情。因此，我接下来要做contradict H（并且您不需要最后split）。

总体而言，您的证明对我来说有点混乱。我建议考虑如何在纸上证明这一引理，并尝试在Coq中做到这一点。我不是Coq的专家，但我认为这也可以帮助您意识到在这种情况下您需要使用矛盾。

（编辑：顺便说一句，其他答案表明这个引理不成立是错误的，但是我无法以我的1个声誉发表评论）

卡住证明引理和无法证明的子目标

1 个答案: