Question

我有一个3维Y（i，j，w）的矩阵。我想得到一个行列式向量d（w），其中每个数字都是矩阵的行列式 Y（：，：，W）。

是否有优雅的语法，或者我只需要使用循环？

感谢

Answer 1

嗯，首先，你几乎从未真正想要计算一个决定因素，你只是认为你做了。事实上，它几乎从来都不是一件好事，因为决定因素的规模很小。它们常常被用来推断矩阵的奇点状态，这在数值分析方面是一件很糟糕的事情。

总体上说明了我对决定因素的迷恋......

选项1：

将三维数组转换为方形矩阵的单元格数组，数组的每个平面都作为一个单元格。 mat2cell可以轻松有效地完成这项工作。

接下来，在单元阵列上使用cellfun。 cellfun可以将函数（@det）应用于每个单元格，然后返回一个行列式的向量。这难以置信吗？只要在编写循环时预先预先分配向量，它可能不会比在循环中应用det有很大的收获。

选项2：

如果矩阵很小，比如2x2或3x3矩阵，则将行列式的乘法展开为显式向量乘法。我认为这不清楚，因为我正在写它，所以对于2x2的情况，其中Y是2x2xn：

d = Y(1,1,:).*Y(2,2,:) - Y(1,2,:).*Y(2,1,:);

当然，你会发现这形成了矩阵Y的每个平面的2x2行列式的向量.3x3的情况也足够简单，也可以作为6个3向乘积的项。我没有仔细检查下面的3x3案例，但它应该是关闭的。

d = Y(1,1,:).*Y(2,2,:).*Y(3,3,:) + ...
    Y(2,1,:).*Y(3,2,:).*Y(1,3,:) + ...
    Y(3,1,:).*Y(1,2,:).*Y(2,3,:) - ...
    Y(3,1,:).*Y(2,2,:).*Y(1,3,:) - ...
    Y(2,1,:).*Y(1,2,:).*Y(3,3,:) - ...
    Y(1,1,:).*Y(3,2,:).*Y(2,3,:);

正如您所看到的，OPTION 2将非常快，并且它是矢量化的。

编辑：作为对Chris的回应，所需时间存在显着差异。考虑一组1e5矩阵所需的时间。

p = 2;
n = 1e5;
Y = rand(p,p,n);

tic,
d0 = squeeze(Y(1,1,:).*Y(2,2,:) - Y(2,1,:).*Y(1,2,:));
toc

Elapsed time is 0.002141 seconds.

tic,
X = squeeze(mat2cell(Y,p,p,ones(1,n)));
d1= cellfun(@det,X);
toc

Elapsed time is 12.041883 seconds.

这两个调用将相同的值返回到浮点垃圾桶中。

std(d0-d1)
ans =
   3.8312e-17

循环不会更好，事实上肯定更糟。那么我是否要编写一段代码，该代码将面临为数组中的许多此类矩阵生成行列式的任务，我将特别考虑2x2和3x3矩阵的代码。我甚至可以写出4x4矩阵。是的，写出来是一团糟，但所需的时间差别很大。

一个原因是MATLAB的det使用对LU的调用，对矩阵进行分解。理论上这比中等大型矩阵的乘法更好，但对于2x2或3x3，额外的开销是杀手。（我不会猜测收支平衡点落在哪里，但人们可以很容易地测试它。）

Answer 2

我会使用arrayfun：

d = arrayfun(@(w) det(Y(:, :, w)), 1 : size(Y, 3));

编辑：速度测试：

p = 10;
n = 1e4;
Y = rand(p,p,n);

测试1：

>> tic, d1 = arrayfun(@(w) det(Y(:, :, w)), 1 : size(Y, 3)); toc
Elapsed time is 0.139030 seconds.

测试2（通过木片）：

>> tic, X = squeeze(mat2cell(Y,p,p,ones(1,n))); d2= cellfun(@det,X); toc
Elapsed time is 1.318396 seconds.

测试3（天真的方法）：

>> p = 10;
>> n = 1e4;
>> Y = rand(p,p,n);
>> tic; d = nan(n, 1); for w = 1 : length(d), d(w) = det(Y(:, :, w)); end; toc
Elapsed time is 0.069279 seconds.

结论：天真的方法是最快的。

返回行列式向量 - Matlab

2 个答案: