Question

以下是我的一个节目的摘录：

function [P] = abc(M,f); if det(M) ~= 1, disp(['Matrix M should have determinant 1'])

我允许用户选择不输入'f'的值。

当我运行abc（[2 1; 1 1]）时，程序运行正常并且它完成了它应该做的事情。但是当我运行abc（[6 13; 5 11]）时，我被告知“矩阵M应该有行列式1”。

地球上发生了什么？

编辑：在命令窗口中，我输入了以下内容：

M = [6 13; 5 11]; if det(M) ~= 1, disp('Im broken'); end

然后Matlab告诉我自己它已经坏了。

由于

Answer 1

欢迎来到浮点运算奇妙的古怪世界。 MATLAB使用LU分解（即线性代数）计算行列式。这是因为决定因素对于即使是温和大小的阵列也是非常低效的，除非它确实如此。

LU分解的结果是，行列式被计算为浮点数。这不是一个问题，除非你输入的问题像你一样简单 - 只有小整数组成的2x2矩阵的决定因素。在这种情况下，行列式本身也将是（合理的）小整数。因此，您可以通过使用教科书公式自行计算2x2矩阵的行列式来解决问题。

D = A（1,1）* A（2,2）-A（1,2）* A（2,1）;

这对于小整数矩阵A来说是完全正确的，尽管这可能会显示某些矩阵的某些精度损失。例如，考虑简单的2x2矩阵A：

>> A = [1e8 1;1 1e8];

我们知道这个矩阵的行列式是1e16-1。

>> det(A)
ans =
                     1e+16

当然，MATLAB将其显示为1e16。但实际上，MATLAB中det函数生成的数字实际上是9999999999999998，所以1e16-2。很糟糕的是，如果我使用上面给出的2x2行列式的公式，它将返回一个仍然不正确的结果，10000000000000000。两个结果都是1.您可以通过查看eps的帮助了解有关这些问题的更多信息

我的观点是，有一些2x2矩阵，即使它们是整数矩阵，行列式的计算也只会有问题。

一旦你的矩阵变成非整数，那么事情确实变成了真正的浮点数，而不是整数。这意味着你只需要使用对它们的公差进行比较，而不是测试精确的统一性。无论如何，这是一个很好的规则。在进行平等测试时总是使用容忍度，至少在你学会了足够的时间知道什么时候不遵守这条规则之前！

所以，你可以选择这样的测试：

if abs(det(A) - 1) < (10*eps(1))
  warning('The sky is falling! det has failed me.')
end

请注意，我已经使用了eps（1），因为我们将事物与1进行比较。我将eps乘以10的事实允许在行列式的计算中略微倾斜。

最后，你应该知道，无论你在这里使用决定因素做什么测试，通常都要做BBBBBBBBBBAAAAAAAAAADDDDDDDD！是的，也许你的老师告诉你这样做，或者你在教科书中找到了什么。但决定因素对于数值计算来说只是一件坏事。决定因素几乎总是替代品。同样，这被称为判断，知道你被告知使用的时间实际上是错误的。

Answer 2

由于浮点数的限制，您遇到了标准问题。 det函数的结果可能类似于1.000000001。

一般经验法则：永远不要测试浮点值是否相等。

Answer 3

为了让您了解：det不是使用您在线性代数中研究的旧公式计算的，而是使用更有效的算法。

例如，使用Gaussian elimination，您可以在等效的上三角矩阵中变换M，然后将行列式计算为主对角线的乘积（下三角全部为零）。

M = [6 13; 5 11]
G = M - [0 0; M(2,1)/M(1,1) * M(1,:)];

理论上det(M)等于det(G)，即6 * 1/6 = 1，但是G 浮点而不是真实数字矩阵，G(1,1)*G(2,2)~=1！

实际上G(1,1)和G(2,2)并不完全是1和1/6，但它们的相对误差非常小（请参阅eps，在大多数机器上约为2.22e- 16）。它们的实际值约为6 *（1 + eps）和1/6 *（1 + eps），因此它们的产品也会有一个小错误。

我不确定Matlab是使用高斯消元还是类似的LU decomposition。

Matlab决定函数出错了

3 个答案: