用于覆盖具有M的子集的M的k组合的集合的算法

Question

我正在开发一个应用程序，我想要获取M中所有可能的元素k组合的集合C（带|| M || = m），并用k集合覆盖C M的子集N_i的组合，|| N_i || = n＆lt; m∀N_i

所以有（m选择k）组合覆盖，并且n个元素的每个集合Q_i将包含（n选择k）组合。

我想要的是一种构造集合Qi的算法，使q最小化（即，尽可能接近（m选择k）/（n选择k））

因此，例如，如果m = 100，k = 3，并且n = 10，我会想要10个元素的最小集合，使得它们各自的3组合集合覆盖（100选择3） ）M的3种组合。

Answer 1

我交叉发布this question on Math Overflow

事实证明，这是组合系统中一个被称为覆盖设计问题的问题。

通常，没有算法可以保证最小值，尽管算法非常接近最小值。您可以找到现有的已知封面和研究here

Answer 2

我不确定这是否有帮助，但我已经编写了一个类来处理使用二项式系数的常用函数，这是你的问题所处的问题类型。它执行以下任务：

1. 以任意N选择K到文件的格式输出所有K索引。 K索引可以用更具描述性的字符串或字母代替。这种方法使解决这类问题变得非常简单。

2. 将K索引转换为已排序二项系数表中条目的正确索引。这种技术比依赖迭代的旧发布技术快得多。它通过使用Pascal三角形中固有的数学属性来实现。我的论文谈到了这一点。我相信我是第一个发现和发布这种技术的人，但我可能错了。

3. 将已排序的二项系数表中的索引转换为相应的K索引。

4. 使用Mark Dominus方法计算二项式系数，这样就不太可能溢出并使用更大的数字。

5. 该类是用.NET C＃编写的，它提供了一种通过使用通用列表来管理与问题相关的对象（如果有）的方法。此类的构造函数采用名为InitTable的bool值，当为true时，将创建一个通用列表来保存要管理的对象。如果此值为false，则不会创建表。不需要创建表来执行上述4种方法。提供访问者方法来访问该表。

6. 有一个关联的测试类，它显示了如何使用该类及其方法。它已经过2个案例的广泛测试，并且没有已知的错误。

要阅读此课程并下载代码，请参阅Tablizing The Binomial Coeffieicent。

将此课程转换为您选择的语言应该不难。

根据您对问题的描述，看起来您应该为N设置一个循环（如果它也改变则为K另一个循环），然后为该N，K组合创建二项式系数对象（BC）。使用BC对象调用无符号长版GetBinCoeff（）以获得组合总数。然后设置另一个循环以遍历每个BC对象的组合总数。在该循环内部，调用BC GetKIndexes方法获取每个索引的K-Indexes（即组合），然后进行计算。我不确定你要尽量减少什么。如果我的建议不够明确或不够有用，请尝试发布一个更详细的示例，清楚地显示您要查找的结果。