给定一组n个整数，列出所有可能的子集，其中sum为＆gt; = k

Question

给定数组形式的未排序整数集，找到所有可能的子集，其总和大于或等于const整数k， 例如： - 我们的集合是{1,2,3}和k = 2

可能的子集： -

 {2},
 {3},
 {1,2},
 {1,3},
 {2,3}, 
 {1,2,3}

我只能想到一个简单的算法，它列出了集合的所有子集，并检查子集的总和是否为> = k，但是它的指数算法并且列出所有子集需要O（2 ^ N）。我可以使用动态编程在多项式时间内解决它吗？

Answer 1

列出所有子集将仍然是O(2^N)，因为在最坏的情况下，您可能仍需要列出除空子集之外的所有子集。

动态编程可以帮助您计算具有sum >= K

的集合数量

您可以自下而上跟踪从范围[1..K]总计到某个值的子集数。这样的方法将是O(N*K)，这对于小K来说是可行的。

动态编程解决方案的想法最好用一个例子来说明。考虑这种情况。假设您知道在由第一个i元素组成的所有集合中，您知道t1总和为2，t2总和为3。假设下一个i+1元素是4。给定所有现有集合，我们可以通过附加元素i+1或将其遗漏来构建所有新集合。如果我们将其删除，我们会得到t1个子集，这些子集总和为2和t2个子集，总和为3。如果我们附加它，那么我们会获得总计为t1（2 + 4）和6的{​​{1}}子集，其总和为t2（3 + 4），并且包含一个子集只有7总和为4.这为我们提供了总和为i+1的子集数量，这些子集由第一个(2,3,4,6,7)元素组成。我们会一直持续到i+1。

在伪代码中，这看起来像这样：

N

Answer 2

  

我可以使用动态编程在多项式时间内解决它吗？

没有。问题甚至比@amit（在评论中）提到的更难。找出是否存在与特定k相加的子集是subset-sum problem，这是NP难的。相反，你要求有多少解决方案等于特定的k，这是更加困难的P#类。此外，您确切的问题稍微困难一些，因为您不仅要计算，而且要枚举k和目标的所有可能子集＆lt; ķ。

Answer 3

如果k为0，并且该集合的每个元素都是正数，那么您别无选择，只能输出每个可能的子集，因此该问题的下限是O（2 ^N ） - - 产生输出所需的时间。

除非你知道更多关于你没有告诉我们的价值k的信息，否则没有更快的通用解决方案来检查每个子集。