Question

Skiena的算法书包含以下对Floyd Warshall algorithm的解释：

 floyd(adjacency_matrix *g)
 {
   int i,j; /* dimension counters */
   int k; /* intermediate vertex counter */
   int through_k; /* distance through vertex k */
   for (k=1; k<=g->nvertices; k++)
       for (i=1; i<=g->nvertices; i++)
           for (j=1; j<=g->nvertices; j++) {
                through_k = g->weight[i][k]+g->weight[k][j];
                if (through_k < g->weight[i][j])
                      g->weight[i][j] = through_k;
           }
  }

Floyd-Warshall全对最短路径在O（n ³）时间内运行，这是渐近的没有比n调用Dijkstra算法更好的了。但是，循环是如此这个项目非常简短，以至于它在实践中运行得更好。值得注意的是罕见的图算法在邻接矩阵上比邻接更好列表。

有人可以详细说明为什么大胆的部分是真的吗？

Answer 1

但是，循环太紧，程序太短而无法运行在实践中更好。

如果你看一下这个算法，就会有三个循环，只有两个语句嵌套在那些循环中。唯一的逻辑是在第三个嵌套循环中完成的。如果你运行了n Djikstra，那么逻辑将在第一个循环中完成，也可以在持续嵌套的情况下完成，这很容易让人觉得不干净。使用干净的三个循环，计算机也应该更容易管理内存。

Answer 2

具有通用数据结构的Dijkstra算法是O（E log v），但Fibonacci堆将其改进为O（E + v log v），这是更复杂的数据结构，并且算法的常量工厂大于floyed。查看此link中的运行时间。

这个问题的区别与q-sort和heap-sort

之间的差异相同

Answer 3

让我们分解一下：

Floyd-Warshall全对最短路径在O（n ³）时间内运行......

这是因为我们有一个三for个循环，每个循环都有 n 次迭代

...渐渐地没有比调用Dijkstra算法的n更好。 ...

回想一下，对Dijkstra算法的单次调用将告诉我们从一个特定节点 x1 到图中所有节点的所有最短路径。因此，我们可以对图中所有节点的Dijkstra算法进行 n 调用： x1 ， x2 ，... xn 找到从 x1 到所有节点的最短路径， x2 到所有节点，... xn 到所有节点。换句话说，这给了我们所有对最短路径 - 就像Floyd Warshall一样！

Running Dijkstra n times: time = number of nodes × O((n + e)lgn) [assuming binary heap used for Dijkstra] = n × O((n + e)lgn) = O(n(n + e)lgn)

确实如此，Floyd-Warshall的 O（n ^ 3）时间并不优于 O（n（n + e）lgn）向Dijkstra发出 n 电话的时间。

...然而，循环太紧，程序太短，以至于在实践中运行得更好。

这里的关键词是“ in practice ”。请记住，渐近分析并不完美。它是性能的数学抽象/近似。当我们实际运行代码时，有许多实际因素没有考虑到。处理器具有复杂的低级架构，用于获取和运行指令。它pipelines说明，pre-fetches说明，尝试predict指令，caches指令和数据，......这是非常不可预测的！然而，所有这些低级优化都会对算法的整体性能产生巨大影响。理论上较慢的算法可以获得提升，理论上快速的算法可能无法获得相同的提升。这有时被称为大符号的hidden constant factor。

事实证明，处理器喜欢优化嵌套的for循环和多维数组！这就是Skiena在这里提到的。数组的for循环充分利用了temporal and spacial locality，并且可以很好地处理低级处理器优化。另一方面，Dijkstra的算法也没有做到这一点，因此处理器优化也不起作用。因此，Dijkstra在实践中确实可能会变慢 Floyd-Warshall是一个“短程序”，意思是没有使用任何复杂的数据结构，重复的指令数量很少。这些事情以及处理器优化为Floyd-Warshall带来了一个隐藏的小因子。也就是说， O（k·n ³）中的 k 很小。

Floyd Warshall算法的时间复杂度

3 个答案: