Question

对于一项任务我被要求找到一个算法，该算法使用O（n 4）时间计算有向图的传递闭包。我们已经了解了floyd warshall算法，这个算法好多了，所以有人可以帮我创建一个在O（n4）时间内运行的算法吗？有这样的算法吗？

我知道这个问题似乎很愚蠢。我真的不明白为什么我们被要求找到更慢的方法来做到这一点。

Answer 1

Floyd Warshall为O(n^3)，由于O(n^3)是O(n^4)的子集，因此它也是O(n^4)。
因此，通过使用Floyd-Warshall算法设置新图G'=(V,E',w')其中E' = V x V（clique，完整图）和w'(u,v) = 1 if (u,v) is in E, otherwise INFINITY，每对(u,v)最终得到一个小于无穷大的值就在闭合中。

Theta（n ^ 4）解决方案：

Q <- E (init) #(Q is a set)
for i from 1 to n:
   for each v in V:
     for each w in V:
        for each u in V:
            if (v,w) is in Q and (w,u) is in E:
               Q <- Q U {(v,u)}  #add (v,u) to Q

复杂性很简单Theta(n^4)，我们只需要证明它确实找到了传递闭包。

通过归纳：

对于从u到v的长度为1的最短路径，它是基本子句，因为（你，v）在E。
每个k：
每对(u,v)的最短路径为k>1 - w有一条路径u -> ... -> w和一条边(w,v)。从归纳假设开始，在之前的迭代中我们将(u,w)添加到Q，因此条件将生成true，我们会将(u,v)添加到结果集Q。

类似地显示，如果某个对(u,v)被添加到Q中，则会有一条路径u->..->w->v，因此它被合理地添加。

第二个Theta(n^4)解决方案：

如上所述设置G'，并v中的每个顶点V从v运行Bellman Ford。
每次运行BF都是Theta(n^3) ¹，运行n次Theta(n^4)

（1）从技术上讲，它是O(VE)，但是没有稀疏图E位于Theta(V^2)

Answer 2

用于传递闭包的Floyd-Warshall算法如下：

int dist[N][N];  // For some N
int i, j, k;
// Input data into dist, where dist[i][j] is the distance from i to j.
// If the nodes are unconnected, dist[i][j] should be infinity

for ( k = 0; k < N; k++ )
for ( i = 0; i < N; i++ )
for ( j = 0; j < N; j++ )
   if(dist[i][k] && dist[k][j])
      dist[i][j] = 1;

请注意所使用的索引的顺序：它们以这种方式排序以保留最佳子结构属性。如果我们改为对它们进行重新排序，则会违反该属性：

  for ( i = 0; i < N; i++ ) 
  for ( j = 0; j < N; j++ )
  for ( k = 0; k < N; k++ )
    if(dist[i][j] && dist[j][k])
      dist[i][k]=1;

违反该属性的结果是传递闭包路径（在最坏的情况下）仅在上面的O（n ^ 3）次迭代中增长一个链路。为了确保它们的传递闭包路径一直在增长，我们需要不断迭代直到它们停止增长：

do{
  something_done=false;
  for ( i = 0; i < N; i++ ) 
  for ( j = 0; j < N; j++ )
  for ( k = 0; k < N; k++ )
    if(dist[i][j] && dist[j][k]){
      dist[i][k]=1;
      something_done=true;
    }
} while (something_done);

如果外环在O（N）中，则算法本身在O（N ^ 4）中。

不幸的是，可能无法（轻松地）显示外部循环具有该属性，因为它特定于数据。

找到一个算法，使用O（n 4）时间计算有向图的传递闭包

2 个答案: