我有一个有向图的 n x n 邻接矩阵。我想搜索以查看是否有任何列总结为 n 。问题是我必须在 O（n）时间内完成此操作。有没有办法用 O（n）时间来处理这个问题，或者它是不可能的（不需要代码）？
供参考，以下是我要解决的问题：
在学校的乐队选举期间，每个人对总统都有一些偏好，而且一个人的偏好一直包括他/她自己。 “完美”的总统是每个人的偏好，除了他/她自己不喜欢任何人。我们想要知道的是这样的人是否存在。
- 定义一个有向图，其中候选集作为顶点，并且从顶点 a 到顶点 b 的有向边，当且仅当 b 在 a 的首选项集中。
- n 人
- 我们想要一个在 O（n）时间
中执行的算法- 我们以 n x n 邻接矩阵的形式给出了上述图形
我认为如果每个人都投票选出“完美的总统”，那么他/她将拥有 n 传入节点，因此对该列进行求和应该给我们 n 。如果有更好的方法来解决这个问题而不是我正在做的事情，那么任何提示都会受到赞赏，以指导我朝着正确的方向前进。
答案 0 :(得分：5)
让我重复规则并给出数字以便于参考：
让我们定义邻接矩阵，以便当人 i 有一个时，行 i 和列 j 中的值为1对人 j 的偏好。所有其他值均为0.
上述三条规则可以根据邻接矩阵重新制定如下：
请注意，不能有两个或更多完美的总统，因为他们必须彼此偏好（规则2），这违反了规则3.
完美的总统（如果存在）可以在线性时间内找到，通过从邻接矩阵的左上角（第0行，第0列）进行锯齿形，根据以下规则：
观察：由于规则1，算法的这一部分永远不会进入主对角线上面的值：该对角线上的1值就像一个每当我们碰到它时，墙壁就会向我们推进。因此，您将始终通过从最后一行向下移动来退出矩阵。在最极端的情况下，它将是在矩阵的右下角（在对角线上）的1向下移动。
这是一个邻接矩阵的简单示例，其中箭头表示算法如何指示从左上角到底行某处的1的路径：
1 1 0 1 0
↓
1 1 0 1 0
↓
0 → 1 1 1 0
↓
0 0 → 0 → 1 0
↓
0 1 1 1 1
↓
=p
请注意，在这个例子中有一个完美的总统，但这当然不是一个要求：算法会给你一个值 p ，无论是否有一个完美的总统。
声明：完美的总统，如果有的话，必须是号码 p 的人。
给定的是上述Zig-zag算法返回的 p 。
首先，我们通过矛盾来证明：
所以让我们假设相反：完美的总统是人我和 i＆lt; P ：
由于我们在第0列中开始了zig-zag阶段并最终在 p 列中，并且由于我们在此过程中无法跳过列，因此有一段时间我们在列 I 的。由于我们没有停留在该列中，因此它必须意味着列 i 在其中一行中有一个零，这会调用我们向右移动。但是规则2要求如果 i 是一个完美的总统，列 i 应该只有1个值（规则2）。矛盾！
其次，我们通过矛盾证明：
所以让我们假设相反：完美的总统是人我和 i＆gt; P ：
因为我们在第0行开始Zig-zag阶段并到达最后一行（参见观察），并且由于我们在此过程中无法跳过一行，所以有一刻我们在行 i 。由于我们并没有停留在那一行，而是在某个时刻向下移动（参见观察：我们向下移动了矩阵），它必须意味着行 i 它的一列中的一个叫我们向下移动。这1不能是对角线上的1（在 [i，i] ），因为我们没有到达 i 列： i 大于 p ，算法以 p 列结束。所以它必须是行 i 中的另一个，第二个。
但是规则3要求如果 i 是一个完美的总统，那么行 i 应该只有一个1值，所有其他值都是零。矛盾！
这两个矛盾的证据让我们没有其他可能的数字，如果有一个完美的总统，而不是数字 p 。
要实际检查人 p 是否确实是一个完美的总统是微不足道的：我们可以检查列 p 是否包含所有1＆＃39; s和< em> p 只包含0＆＃39; s， i 列除外。
所有这一切都可以在线性时间内完成：至少 2n-1 在Z字形阶段需要从矩阵读取，而 2n-2 更多最后的验证阶段。因此，这是 O（n）。