Question

我有一个ordered graph的邻接矩阵，我需要找到所有其他边缘到的顶点（在它的行中除了对角线之外都有1个）：

如果这是邻接矩阵：

0 0 0
0 0 0
1 1 0

算法应该产生顶点3。

假设至少有一个这样的顶点。

O（N ^ 2）中的解（N是顶点数）是微不足道的，但如何在O（N）中完成？

Answer 1

前提条件：

图表为ordered graph
有一个顶点，所有其他顶点都有一个边缘到

由于边缘需要引入总排序，所以需要找到的顶点是“最小”顶点，它没有任何外边缘，因为这将是它已连接的其他边之一to会导致一个循环，这在一个有序图中是不允许的。

此外，图形需要连接，因此所有路径都需要通向最小的顶点，这使我们得到了这个算法：

从所有行的集合开始作为可能的候选人
从集合中选择一个顶点，并将可能的边缘迭代到剩余的候选者。
- 如果候选人有优势，请从列表中删除第2步中的候选人，并在新候选人的2位继续。
- 如果该顶点没有边缘，则从候选集中移除目标候选者并继续下一个可能的边缘。
- 如果没有留下候选人，则当前顶点是您要查找的顶点

由于每个步骤都可以在O（1）中执行，并且在每个步骤中减少剩余候选者的集合，因此运行时间应该是O（N）。

Answer 2

有序图是在其顶点上具有总次序的图。没有其他要求，特别是它不限制边缘可以去的地方。所以这个问题的答案是你有时候不能做得比O（N ^ 2）更好：考虑一个邻接矩阵，其中一行所有非对角线条目等于一，而所有其他行都有一个零非对角线条目。除非你非常幸运，否则你需要通过几乎整个邻接矩阵找出哪一行没有非对角线零。

因此，我认为您的意思是指向允许 topological ordering 的有向图。也就是说，directed acyclic graph（DAG）。在那种情况下，塞巴斯蒂安已经回答了，但由于答案未被接受，让我试着更清楚地解释它。

如果DAG中的顶点具有来自每个其他顶点的入射边，则它没有外出边，因为它们将形成长度为2的循环。换句话说，其对应列仅具有零。这样的顶点称为通用接收器，并且有一种众所周知的O（N）算法可用于查找它。

常规算法：

候选人：= {0,1，...，N-1}
而|候选人| ＆GT; 1做：
- 任意选择候选人u和v
- if（u，v）是边缘，从cadidates中删除u，否则从候选人中删除v
测试最后剩余的候选人是否为通用接收器

如果你知道你的图表有一个通用接收器，那么最后一步是不必要的。

while循环的迭代次数为N-1，因为每次迭代都会从候选集中删除一个顶点。该算法是正确的，因为它只删除不能成为通用接收器的顶点 - 移除的顶点具有传出边缘，或者它没有来自某个顶点的传入边缘。

在下面的代码中，您可以注意到我们没有明确地保留候选人列表。 for-cycle的步骤 i 中的候选者列表是 {candidate，i，i + 1，...，N-1} 和所选候选人 u 和 v 是候选人和 i 。

// step 2
int candidate = 0;
for(int i=1; i<N; i++)
{
  if(edge[candidate][i] == 1)
      candidate = i;
}
// step 3
bool no_sink = false;
for(int i=0; i<N; i++)
{
  if(candidate  != i && (edge[candidate][i] == 1 || edge[i][candidate]==0))
      no_sink = true; 
}
if(no_sink)
    printf("No universal sink.");
else
    printf("The universal sink is %d.", candidate);

使用O（N）中的邻接矩阵在有序图中查找根顶点

2 个答案: