如何找到图形的非完美二分匹配？

Question

也就是说，如何找到一个图的二分匹配，其中一些顶点可能没有连接到任何其他顶点？

编辑：还有一个条件，假设边缘也是加权的，我想要匹配，以使总边缘权重最小化（或最大化）。

Answer 1

使用Hopcroft-Karp algorithm，它完全符合您的要求。

Answer 2

首先，我假设你的体重是非负的。

在您编辑的版本中，您谈论的是assignment problem： n 代理商，每个代理商都会分配一个独特的操作来执行，其中每个代理商都有一个任意的非负成本行动。虽然这个描述是为了完美的二分匹配，但你可以执行一些技巧。为了平衡两侧，您可以将权重为0的顶点添加到另一侧的所有内容，以表示没有采取任何操作/未执行的操作会产生0成本。缺失链接可以通过超过所有真实成本总和的成本来建模，因此只有在问题无法解决时才会选择它们。对于您编辑的版本，我会使用Hungarian Algorithm。最后，这个问题也被称为“最大加权二分匹配”，另一个算法参考可以在maximum matchings in bipartite graphs下的第二段中找到。

编辑：如果你想最大限度地降低成本而不是最小化成本，你必须降低成本。只需找到最高成本并从最大值中减去每个成本。如果你缺少链接，那么你不会想要任何费用为0的链接。