Question

以下是我在访谈街道网站上看到的C ++代码，从0~a（输入数字）计算1位，我们可以说是1~a，因为0没有1。此代码的时间复杂度为使用重复的O（logn）。

我只是不明白逻辑。谁能解释为什么？谢谢！

long long solve(int a)
{
 if(a == 0) return 0 ;
 if(a % 2 == 0) return solve(a - 1) + __builtin_popcount(a) ;
 return ((long long)a + 1) / 2 + 2 * solve(a / 2) ;
}

BTW __builtin_popcount（）是GNU提供的内置方法，用于计算1位。

Answer 1

我会抓住O(lg n)复杂性。请注意，虽然证明应该仍然保留运行时间，但我不太明白该函数的作用。

考虑到我们的复发关系：

T(a) = 0, if a == 0
     | T(a - 1) + O(1), if a is divisible by 2
     \ O(1) + T(a/2)

我将在这里使用迭代方法：

T(a) = T(a/2) + O(1)
T(a) = T(a/2^2)) + O(1) + O(1)
T(a) = T(a/2^k)) + (k-1)O(1)
// continue unrolling until we reach the base case
T(a) = 0 + O(1) + ... + O(1) + O(1) = kO(1)
// k here corresponds to lg a since we continued dividing the problem set in half
T(a) = (lg a)*O(1)
T(a) = lg a

Q.E.D。

O（logn）中0~N的位计数

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