Question

这是昨天在面试街上完成的编程竞赛中的一个问题：

爱丽丝和鲍勃玩游戏。第i轮（i> = 1）的操作如下：

Alice向Bob支付2 * i - 1美元，
爱丽丝扔了一个有偏见的硬币，
如果硬币的结果是连续k轮，则游戏停止，否则游戏继续。

考虑到k和投掷结果的可能性（p），你的程序应该找到Alice支付Bob的预期数量，以及预期的轮数。

输入

第一行输入包含多个测试用例（T <= 50）。每个接下来的T行包含由单个空格分隔的p和k。 p是一个十进制数，小数点后最多两位数 0.6 <= p <= 1.k是正整数，使得0

输出

对于每个测试用例，打印两个整数。第一个数字是整数部分预期的游戏轮数，第二轮 number是预期Alice数量的整数部分支付鲍勃。

示例输入

示例输出

我已经解决了问题的第一部分，即预期的游戏轮数。我用以下代码获得了它

if __name__ == '__main__':
    t = int(raw_input())   
    while t :
        t -= 1
        temp = str(raw_input())
        p,k = temp.split(' ')
        p = float(p)
        k = int(k)

        #print p,k
        ans  = 0.0
        num = k * (p**k)
        den = 1
        q = 1.0 - p
        for N in range(1,k+1):
            den = den - ((p**(N-1))*q)
            num = num + (N*(p**(N-1))*q)
            #print (N*(q**N))

        print int(num/den)

但问题的第二部分仍然令我感到困惑，即爱丽丝付出的预期美元数量。如何计算预期收益？

Answer 1

即使您知道预期的轮数，您也需要对所有可能的支出进行平均而不是它们发生的概率。这意味着它比在预期的停止时间计算支出更复杂。以下是细节：

回想一下，期望的技术定义说如果X是随机变量，那么X的期望值是X（w）* Pr（w）的所有可能结果w的总和。如果X取正整数值，我们可以将其改为，因为X的期望值是i = 1到i * Pr（X = i）的无穷大之和。在你的情况下，我们处理的随机变量是T =游戏停止的时间，P =支付。

预期的轮数是T的期望，T是从i = 1到i * Pr（T = i）的无穷大的总和。由于它们只询问期望的整数部分，所以一旦i * Pr（T = i）小于1/2 ^ i，我们就可以停止求和。（当i * Pr（T = i）<1/2 ^ i时，停止求和的想法是1/2 ^ i总和为1，但你可能需要调整它以避免低估。）

P的期望稍微复杂一些。如果游戏持续j轮，那么支付将是从i = 1到j为2i-1的总和，结果是j ^ 2。因此，仅可以发生形式j ^ 2的支付，并且Pr（P = j ^ 2）= Pr（T = j）。因此，P的期望值是从i = 1到无穷大i ^ 2 * Pr（P = i ^ 2）的和，其等于从i = 1到无穷大i ^ 2 * Pr的总和（T =一世）。同样，一旦i ^ 2 * Pr（T = i）小于1/2 ^ i，我们就可以停止求和。

概率难题，游戏的预期收益

1 个答案: