Question

我最近提出了以下问题，

“你有一个有G绿色和B蓝色硬币的盒子。选择一个随机硬币，G给出+1的利润，蓝色给-1减去。如果你最佳地发挥预期的利润。”

我正在考虑使用蛮力算法，我考虑绿色和蓝色硬币组合的所有可能性，但我确信必须有更好的解决方案（B和G的范围从0到5000）。最佳播放意味着什么呢？这是否意味着如果我挑选所有蓝色硬币然后我会继续玩，直到所有绿色硬币也被挑选？如果是这样，那么这意味着我不应该考虑绿色和蓝色硬币的所有可能性？

Answer 1

＆＃34;显而易见＆＃34;答案是每当绿色硬币多于蓝色硬币时播放。实际上，这是错误的。例如，如果有999个绿色硬币和1000个蓝色硬币，那么这是一个获得预期利润的策略：

Take 2 coins
If GG -- stop with a profit of 2
if BG or GB -- stop with a profit of 0
if BB -- take all the remaining coins for a profit of -1

由于第一种和最后一种可能性都以接近25％的概率发生，因此您的整体预期约为0.25 * 2 - 0.25 * 1 = 0.25

在一个极端的例子中，这只是一个简单的策略，表明问题并不像最初看起来那么简单。

一般来说，g绿币和b蓝币的预期由递归关系给出：

E(g, 0) = g
E(0, b) = 0
E(g, b) = max(0, g(E(g-1, b) + 1)/(b+g) + b(E(g, b-1) - 1)/(b+g))

最后一行的最大值出现是因为如果要播放它，那么你最好停止。

这些递归关系可以使用O（gb）时间内的动态编程来解决。

from fractions import Fraction as F

def gb(G, B):
    E = [[F(0, 1)] * (B+1) for _ in xrange(G+1)]
    for g in xrange(G+1):
        E[g][0] = F(g, 1)
    for b in xrange(1, B+1):
        for g in xrange(1, G+1):
            E[g][b] = max(0, (g * (E[g-1][b]+1) + b * (E[g][b-1]-1)) * F(1, (b+g)))
    for row in E:
        for v in row:
            print '%5.2f' % v,
        print
    print
    return E[G][B]

print gb(8, 10)

输出：

 0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00
 1.00  0.50  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00
 2.00  1.33  0.67  0.20  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00
 3.00  2.25  1.50  0.85  0.34  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00  0.00
 4.00  3.20  2.40  1.66  1.00  0.44  0.07  0.00  0.00  0.00  0.00
 5.00  4.17  3.33  2.54  1.79  1.12  0.55  0.15  0.00  0.00  0.00
 6.00  5.14  4.29  3.45  2.66  1.91  1.23  0.66  0.23  0.00  0.00
 7.00  6.12  5.25  4.39  3.56  2.76  2.01  1.34  0.75  0.30  0.00
 8.00  7.11  6.22  5.35  4.49  3.66  2.86  2.11  1.43  0.84  0.36

7793/21879

从这里你可以看到8个绿色和10个蓝色硬币（EV = 7793 / 21879~ = 0.36）的预期是积极的，你甚至有2个绿色和3个蓝色硬币的正面预期（EV = 0.2））

Answer 2

这个答案错了;请参阅Paul Hankin关于反例和正确分析的答案。我在这里留下这个答案作为我们所有人的学习范例。

假设您的选择只是停止挑选硬币，只要G＆gt; B.那部分很简单。如果你从G＆lt; B，那么你永远不会开始绘画，你的收益是0.对于G = B，任何策略都不会给你带来数学上的好处;那里的收益也是0。

对于预期的奖励，请分两步进行：

（1）任何绘制序列的预期值。递归地执行此操作，计算在第一次绘制时获得绿色或蓝色的机会，然后是新状态（G-1，B）或（G，B-1）的预期值。您将很快看到任何给定绘图数字的预期值（例如第3次绘制的所有可能性）与原始绘图相同。

因此，任何平局的预期值为 e =（G-B）/（G + B）。您的整体预期值为 e * d ，其中d是您选择的抽奖数量。

（2）预期抽奖人数是多少？在G = B之前你期望抽出多少次？我会把这作为学生的练习，但请注意以前递归的做法。您可能会发现将游戏状态描述为（额外的，总计）更容易，其中额外= G-B 和总计= G + B 。

说明性练习：给定G = 4，B = 2，你在前两次抽奖（然后停止比赛）中抽出GG的几率是多少？从那里获得了什么收益？这与每次抽奖的（4-2）/（4 + 2）优势相比如何？

Answer 3

简单直观的答案：

你应该从估计蓝色和绿色硬币的总数开始。每次选择后，您将更新此估算值。如果你估计在任何一点你都应该停止蓝色硬币而不是绿色硬币。

示例：

你开始挑选一枚硬币。它的绿色让你估计100％的硬币是绿色的。你选择一个蓝色，所以你估计50％的硬币是绿色的。你选择另一个蓝色硬币，所以你估计有33％的硬币是绿色的。根据你的估计，在这一点上不值得玩，所以你停下来。

利润/亏损博弈中最优预期金额的算法

3 个答案: