人物 - Apple Puzzle [灵感来自客户端 - 益智协议]

Question

我正在学习一个客户端拼图协议，我有一个关于找到解决方案可能性的问题。这里有一个场景，而不是进入干燥的协议事实：

假设我有x个人，我有y苹果：

• 每个人必须至少拥有1个苹果
• 每个人最多可以拥有z个苹果。

是否有计算方案数量的公式？

实施例： 4人[x]，6个苹果[y]，15个MAX苹果[z]

没有。手工计算的情景：10。

如果我的数字很大，我希望用公式计算它。

感谢您的帮助。

Answer 1

您的问题等同于＆＃34;通过将x个数字加在一起，找到可以获得z的方式的数量，每个数字位于min和{{1}之间}＆＃34。示例Python实现：

max

结果：

def possible_sums(x, z, min, max):
    if min*z > x or max*z < x:
        return 0
    if z == 1:
        if x >= min and x <= max:
            return 1
        else:
            return 0
    total = 0
    #iterate from min, up to and including max
    for i in range(min, max+1):
        total += possible_sums(x-i, z-1, min, max)
    return total

print possible_sums(6, 4, 1, 15)

使用大数字调用此函数会变得非常昂贵，但使用memoization可以改善运行时间。如何实现这一点取决于语言，但传统的Python方法是将先前计算的值存储在字典中。

10

现在def memoize(fn): results = {} def f(*args): if args not in results: results[args] = fn(*args) return results[args] return f @memoize def possible_sums(x, z, min, max): #rest of code goes here 需要花费很长时间才能计算，会立即返回print possible_sums(60, 40, 1, 150)。

Answer 2

有数学方法可以做到这一点。它类似于询问有多少种方法可以在3个6面骰子上滚动总共10个（x = 3，y = 10，z = 6）。您可以通过几种不同的方式实现此目的。

一种方法是使用包含 - 排除。将y作为x正数之和而没有最大值的方法的数量是y-1，由stars-and-bars argument选择x-1。您可以计算将y作为x正数之和的方式的数量，以便如果yx-sz为负，则y的一个特定的s组至少为z + 1：0，并且y-1-sz选择x- 1如果它是非负的。然后你可以使用inclusion-exclusion将计数写为s的非负值的总和，使yx-sz为（-1）^ s（x选择s）的非负（y-1-sz选择x-1） ）。

您可以使用生成功能。你可以让一些变量的权力，比如t，保持总数，系数表示总数的组合数。然后你要求（t + t ^ 2 + ... + t ^ z）^ x中的t ^ y系数。您可以通过几种方式计算出来。

一种方法是动态编程，计算k到x的（t + t ^ 2 + ... + t ^ z）^ k的系数。天真的方法可能足够快：你可以计算k = 1,2,3，...，x。使用诸如重复平方之类的东西要快一点，例如，计算第87次幂，你可以将二进制扩展为87 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 0b1010111（写成二进制文字）。您可以通过平方和乘法计算第1，第2，第4，第16和第64功率，或者您可以通过squaring and multiplying计算0b1,0b10,0b101,0b1010,0b10101,0b101011和0b1010111功率来保存小空间。

另一种方法是使用二项式定理两次。

(t+t^2+...+t^z)^x = t^x ((t^z-1)/(t-1))^x 
                  = t^x (t^z-1)^x (t-1)^-x. 

带有指数x的二项式定理让我们将（t ^ z-1）^ x重写为（-1）^ st ^（z（xs））之和（x选择s），其中s的范围从0到x 。它还允许我们将（t-1）^ - x重写为（r + x-1选择x-1）t ^ r与非负r的无限和。然后我们可以选出有助于t ^ y系数的有限项集（r = y-x-sz），并得到与上面的包含 - 排除相同的和。

例如，假设我们有x = 1000，y = 1100，z = 30。值是

= 1.29 x 10 ^ 144。