Question

给定n对点，我们如何得到能够形成具有正斜率的线的点对的数量？

然后有n行，其中第i行包含两个整数xi和yi，指定第i个点的x和y坐标。没有两个点具有相同的x坐标，并且没有两个点具有相同的y坐标。

我的想法是首先对x进行排序，然后将每个点与其下方的另一个点进行比较。但它仍然是O（n ^ 2）

Answer 1

选择一个点（随机是最简单的并且具有良好的预期运行时间，尽管您可以在线性时间内确定性地找到中间点），将轴分成四个象限：

  x        |
           |   x   x
     x     |  x
-----------x-----------
  x        |
   x       |      x
           | x

从左上角按I，II，III，IV表示逆时针方向的象限：

II  | I
----|----
III | IV

我们将忽略位于轴上的点（理论概率为0的边缘情况，并且很容易处理）。

请注意，象限III中的所有点都与I中的所有点形成正斜率线，同样地，来自II的点不会形成p。 IV中带点的线，所以我们递归调用：

NumPSLines(G) = |I|*|III| +
                NumPSLines(I U II) +
                NumPSLines(II U III) +
                NumPSLines(III U IV)

U表示联合。

假设（证明留给读者）期望值E(|I|) = ... E(|IV|) = |G|/4 = n/4并且分区到象限是线性的，那么我们得到预期的运行时间：

T(n) = O(n) + 3T(n/2)
     = O(n) + ... + 3^k * t(n/2^k) // where k = log2(n)
     = O( log2(n) * 3^log2(n) )
     = O(n^(log2(3)) * logn)
     ~ O(n^1.6 * logn)

不确定这个界限是否紧张;没想过太多。

这个解决方案可以超级优化，虽然它是一个开始。

Answer 2

按x递减排序，然后计算y中的反转次数。这两个步骤都是O（n log n）。

说明：具有正斜率的（无序）对的数量是对{（xi，yi），（xj，yj）}的对数，使得xi> 1。 xj和yi＆gt; YJ。当我们按x降序排序时，我们将其设为xi＆gt; xj当且仅当我＆lt;学家ys中的反转的定义是一对i <1。 j使得yi> YJ。

Counting the number of inversions quickly.

如何找到能够快速形成正斜率线的点数？

2 个答案: