在Euclidean空间中给出点，是否有一个快速算法来计算“任意超平面”下的点数？快速意味着时间复杂度低于O（n）
对点进行预处理或排序的时间是可以的
而且，即使不是高维，我也想知道是否存在可用于二维空间的那个
答案 0 :(得分：2)
如果您愿意预先处理这些点，那么您必须至少访问一次，即O（n）。如果你考虑测试点作为预处理的一部分在哪一侧，那么你有一个O（0）算法（使用O（n）预处理）。所以我不认为这个问题有道理。
尽管如此，我还是会尝试给出一个有用的答案，即使这不是OP所要求的。
选择超平面单位法线和根点。如果平面以参数形式给出
（P - O）.N == 0
然后你已经有了这些，只要确保正常是单位化的。
如果以分析形式给出：Sum（i = 1到n：a [i] x [i]）+ d = 0，则向量A =（a 1，... a [ n]）是平面的法线，N = A / || A ||是单位平面法线。平面上的点O（对于原点）是d N.
您可以通过将每个点P投影到N上来测试每个点P的哪一侧检查参数的符号：
设V = P - O.V是从选择的原点O到P的矢量。
设s为projection of V onto N。如果s为负，则P在超平面“下”。
如果你对这个主题生锈了，你应该去看矢量投影的链接，但我会用我的符号来总结。或者，你可以接受我的话，最后跳到公式。
如果alpha是V和N之间的角度，那么从余弦的定义我们得到cos（alpha）= s || N || / || V || = s / || V ||因为N是单位法线。但我们也从向量代数知道cos（alpha）= || V ||（V.N），其中“。”是标量积（a.k.a. dot product，或euclidean inner product）。
将这两个表达式等同于cos（alpha）我们有
s =（V.V）（V.N）
（使用|| V || ^ 2 == V.V）的事实。
所以你的预处理工作是计算N和O，你的测试是：
bool is_under = (dot(V, V)*dot(V, N) < 0.);
我不相信它可以更快地完成。
答案 1 :(得分：0)
设置点值时，请使用该点设置的检查条件。然后增加或不增加计数器。为O（n）
答案 2 :(得分：0)
我通过使用具有O（N log N）预处理时间复杂度和O（N log N）内存复杂度的分治和二元搜索在2D维度中找到O（logN）算法
基本思想是点可以分为左N / 2点和右N / 2点，线下的点数（2D维）是线下左点数的总和以及该线下的正确点数。我将称为无限线，将整点分为“左”和“右”作为“分界线”。分界线看起来像'x = k'
如果每个“左点”和“右点”按y轴顺序排序，则可以通过使用二进制搜索“点数”快速找到特定点的数量 - 右下角的点数其y值低于该线与分界线'的交叉点的y值。
因此时间复杂度
T（N）= 2T（N / 2）+ O（log N）
最后时间复杂度为O（log N）