Question

给出n个2D点。考虑通过连接任何一对这些点创建的所有可能的段。如何在O（n * log（n））中找到所有可能段中具有最大斜率的段？

我们可以根据x和/或y坐标对数组进行排序吗？

找到y_i和y_j，以便y_i - y_j是最大差异，并找到斜率（让它为delta_y）;
找到x_k和x_l，x_k - x_l最小，并找到斜率（让它为delta_x）;
返回x和y坐标max(delta_y, delta_x)。

这是对的吗？

Answer 1

斜率是(delta_y)/(delta_x)的比率，其中delta_y和delta_x是在相应点之间测量的。

您的方法计算的比率为(y_i - y_j)/(x_k - x_l)，i，j，k和l最大化y_i - y_j和{{1} }}。但请注意，x_k - x_l或(x_k, y_i)都不可能是给定(x_l, y_j)点中的点数。也就是说，您的方法不会在相应的点上衡量n和delta_y。

要获得有效的方法，请考虑按delta_x坐标按升序对点进行排序，这需要O（n log n）时间。然后在O（n）时间内测试任何两个点是否具有相同的x坐标。如果是这样，则存在无限或不确定的斜率。否则，考虑连续点之间的斜率。可以证明，当点按升序x排序时，任意两个n点之间最陡的斜率出现在连续点之间。因此，在使用O（n log n）时间对点进行排序后，可以在O（n）时间内找到最大斜率。

Answer 2

我想你可以。考虑三个连续点。从第一点到第三点绘制直线，并查看中间点是在其上方，中间还是下方。如果中间点在线上，则所有斜率都相等。如果中间点在线上方，则从第一点到第二点的斜率最高。如果中间点在线下方，则从中间点到第二个的斜率最高。在任何情况下，您都可以找到两个相邻点之间的最大斜率。

Answer 3

我不知道这是否有效。答案是开放的建议和编辑。

我将使用Divide and Conquer。

P是所有点的集合。

MAX_SLOPE(P)
   sort all the points in P according to ascending X coordinate and break ties using ascending Y coordinates.
   print(FIND_MAX_SLOPE(P))


FIND_MAX_SLOPE(P)
   if(P.length == 2)
      if(p1.x-p2.x != 0)
         return (p1.y-p2.y)/(p1.x-p2.x)
      else
         return 0
   else
      left_p = P[0..P.length/2]
      right_p = P[P.length/2..P.length]
      slope_left = FIND_MAX_SLOPE(left_p)
      slope_right = FIND_MAX_SLOPE(right_p)
      slope_across_border = FIND_MAX_SLOPE(left_p.last UNION right_p.first)
      return MAX(slope_left,slope_right,slope_across_border)

如何找到通过连接任何一对点创建的具有最大斜率的线段？

3 个答案: