Question

我有两组2D点，通过平面中的一条线相互分开。我想有效地找到一对点，由每组中的一个点组成，它们之间的距离最小。 Radu Litiu有一篇非常方便的论文，两个分开的点集最近对，但它使用L1（曼哈顿）距离度量而不是欧几里德距离。

有没有人知道类似的算法与欧几里德距离有效吗？

我可以看到标准鸿沟的扩展＆amp;征服最近对算法 - 将两组划分为垂直于原始分裂线的中线，在两侧递归，然后寻找由中位数每侧的一个点组成的更接近的对。如果距离递归步骤的最小距离是d，那么中位数一侧的点的伴随必须位于维度为2d * d的方框内。但与原始算法不同，我看不到任何限制该框内点数的方法，因此算法整体上变为O（m * n）。

有什么想法吗？

Answer 1

对于一组中的每个点，在另一组中找到最近点。在这样做时，只保留一对点之间的距离最小。这减少了给另一个问题："Algorithm to find for all points in set A the nearest neighbor in set B"，可以使用扫描线算法在（1）一组点和（2）Voronoi图解决其他集合。

算法复杂度为O（（M + N）log M）。并且该算法不使用两组点彼此分开的事实。

Answer 2

Evgeny's answer有效，但没有库支持需要付出很多努力：计算完整的Voronoi图和额外的扫描线算法。按顺序枚举Voronoi单元格与分离线相交的点的两组点更容易，然后通过线性时间合并步骤测试其单元格相交的所有点对。

要计算Voronoi图的所需片段，假设x轴是分离线。通过x坐标对集合中的点进行排序，丢弃具有大于等于x的其他点的y的点。开始按x坐标顺序扫描点，将它们推入堆栈。在推动之间，如果堆栈具有至少三个点，比如p，q，r，最近推动r，则测试在二等分qr之后，二等分pq的线是否与分离线相交。如果是这样，丢弃q，并用新的前三个重复测试。原始ASCII艺术：

Case 1: retain q

------1-2-------------- separating line
     /  |
  p /   |
   \    |
    q-------r

Case 2: discard q

--2---1---------------- separating line
   \ /
  p X r
   \ /
    q

Answer 3

解决此问题的典型方法是扫描线算法。假设您有一个包含所有点的坐标系以及将点与不同集分开的线。现在想象一条垂直于分离线的线，从一个点到另一个点按升序跳跃。为方便起见，您可以旋转和平移点集和分离线，使分离线等于x轴。扫描线现在与y轴平行。

使用扫描线从一个点跳到另一个点，跟踪不同组中两点的最短距离。如果前几个点都来自同一个集合，那么很容易找到一个公式，告诉你哪一个你必须要记住，直到你从另一个集合中找到第一个点。

假设您总共有N个积分。您必须对O中的所有点进行排序（N * log（N））。扫描线算法本身将在O（N）中运行。

Answer 4

那么这个：

确定任何一方在哪一方：
- 让P成为你的分数（P0，...... Pi，...... Pn）
- 让A，B成为分隔线起点
- so：side（Pi）=（B-A）的符号。（Pi-A））
- 这是基于一个简单的事实，即标量向量乘法（点积）的符号取决于点的顺序（更多信息请参见三角形/多边形缠绕规则）
找到任何（Pi，Pj）的最小距离，其中（Pi）！= side（pj）
- 所以首先计算所有点的所有边O（N）
- 然后循环遍历所有Pi并在其中循环
- 遍历所有Pj并搜索最小距离。
- 如果Pi和Pj组成aprox。等于大小的是O（（N / 2）^ 2）
您可以通过“排序”来自AB的“距离”点Pi，Pj进一步优化搜索
- 你可以使用另一个点积来做到这一点，这次是（B-A）
- 使用垂直向量来说（C-A）
- 丢弃Pi2中的所有点（以及类似的Pj2）
- 式中（（B-A）。（P（i1）-A））接近（（B-A）。（P（i2）-A））
- 和|（（C-A）。（P（i1）-A））| ＆LT;＆LT; |（（C-A）（P（3-12）-A）。）|
- beacuese表示Pi2落后于Pi1（来自AB）
- 并且接近于接近Pi1
- 此优化后的复杂性很大程度上取决于数据集。
- 应为O（N +（Ni * Nj））其中Ni / Nj为剩余点数Pi / Pj
- 你需要2N点数产品，Ni * Nj距离比较（不要sq sq）

Answer 5

（我不确定这是否与大卫的想法有任何相似之处......我现在只是在登录发表我的想法后才看到它。）为了论证，让我们说我们改变了一切所以划分line是x轴，并按x坐标对我们的点进行排序。假设N不是太大，如果我们沿着x轴扫描（也就是说，遍历我们的a和b的排序列表），我们可以记录总体最小值和两个传递点列表。扫描中的当前点针对来自另一个列表的每个传递点进行测试，而从列表中的点到（我们的扫描的x坐标，0）的距离大于或等于整体最小值。在下面的示例中，当到达b2时，我们可以停止在a2进行测试。

        scan ->                 
      Y                           
      |         a2         
      |                   
      |   a1           a3   
X--------------------------
      |     b1           b3
      |             b2

一条线上最近的一对点

5 个答案: