垂直于给定点的线段

Question

我想计算给定线上与给定点垂直的点。

我有一个线段AB并且在线段之外有一个点C.我想计算AB上的点D，使得CD垂直于AB。

我必须找到D点。

它与this非常相似，但我想考虑Z坐标，因为它在3D空间中没有正确显示。

Answer 1

function getSpPoint(A,B,C){
    var x1=A.x, y1=A.y, x2=B.x, y2=B.y, x3=C.x, y3=C.y;
    var px = x2-x1, py = y2-y1, dAB = px*px + py*py;
    var u = ((x3 - x1) * px + (y3 - y1) * py) / dAB;
    var x = x1 + u * px, y = y1 + u * py;
    return {x:x, y:y}; //this is D
}

Answer 2

证明： 点D在垂直于AB的线CD上，当然D属于AB。 记下两个向量CD.AB = 0的Dot积，并表示D属于AB的事实为D = A + t（B-A）。

我们最终得到3个方程：

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)
(Dx-Cx)(Bx-Ax)+(Dy-Cy)(By-Ay)=0

在第三个方程中减去前两个方程给出：

(Ax+t(Bx-Ax)-Cx)(Bx-Ax)+(Ay+t(By-Ay)-Cy)(By-Ay)=0

分配以解决t给出：

(Ax-Cx)(Bx-Ax)+t(Bx-Ax)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)+t(By-Ay)(By-Ay)=0

给出：

t= -[(Ax-Cx)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

摆脱负面迹象：

t=[(Cx-Ax)(Bx-Ax)+(Cy-Ay)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

一旦有了t，就可以从前两个方程中找出D的坐标。

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)

Answer 3

使用矢量点积有一个简单的封闭形式解决方案（不需要循环或近似）。

想象一下你的点作为向量，其中A点位于原点（0,0），所有其他点都是从它引用的（你可以通过从每个点减去点A来轻松地将你的点转换为这个参考帧）。

在这个参考帧中，D点只是矢量B上C点的vector projection，表示为：

// Per wikipedia this is more efficient than the standard (A . Bhat) * Bhat
Vector projection = Vector.DotProduct(A, B) / Vector.DotProduct(B, B) * B

通过向其添加点A，可以将结果向量转换回原始坐标系。

Answer 4

AB线上的点可以通过以下方式进行参数化：

M（x）= A + x *（B-A），对于x real。

你想要D = M（x）使得DC和AB是正交的：

点（B-A，C-M（X））= 0。

即：点（B-A，C-A-x *（B-A））= 0，或点（B-A，C-A）= x *点（B-A，B-A），给出：

x =点（B-A，C-A）/点（B-A，B-A），除非A = B，否则定义。

Answer 5

您要做的是vector projection

Answer 6

对于在 C# 中可能需要此功能的任何人，我会为您节省一些时间：

double Ax = ;
double Ay = ;
double Az = ;
    
double Bx = ;
double By = ;
double Bz = ;
    
double Cx = ;
double Cy = ;
double Cz = ; 
    
double t = ((Cx - Ax) * (Bx - Ax) + (Cy - Ay) * (By - Ay)) / (Math.Pow(Bx - Ax, 2) + Math.Pow(By - Ay, 2));
    
double Dx = Ax + t*(Bx - Ax);
double Dy = Ay + t*(By - Ay);

Answer 7

这里我将已回答的代码从“cuixiping”转换为matlab代码。

function Pr=getSpPoint(Line,Point)
% getSpPoint(): find Perpendicular on a line segment from a given point
x1=Line(1,1);
y1=Line(1,2);
x2=Line(2,1);
y2=Line(2,1);
x3=Point(1,1);
y3=Point(1,2);

px = x2-x1;
py = y2-y1;
dAB = px*px + py*py;

u = ((x3 - x1) * px + (y3 - y1) * py) / dAB;
x = x1 + u * px;
y = y1 + u * py;

Pr=[x,y];

end

Answer 8

我没有看到这个答案，但Ron Warholic对Vector Projection提出了很好的建议。 ACD只是一个直角三角形。

1. 创建向量AC，即（Cx-Ax，Cy-Ay）
2. 创建向量AB，即（Bx-Ax，By-Ay）
3. AC和AB的点积等于矢量之间角度的余弦。即cos（theta）= ACx * ABx + ACy * ABy。
4. 向量的长度是sqrt（x * x + y * y）
5. AD的长度= cos（θ）*长度（AC）
6. 归一化AB，即（ABx /长度（AB），ABy /长度（AB））
7. D = A + NAB *长度（AD）

Answer 9

以下是基于Corey Ogburn的this thread答案的python实现。
它将点 q 投影到由 p1 和 p2 定义的线段上，从而产生点 r 。
如果 r 超出线段，它将返回null：

def is_point_on_line(p1, p2, q):

    if (p1[0] == p2[0]) and (p1[1] == p2[1]):
        p1[0] -= 0.00001

    U = ((q[0] - p1[0]) * (p2[0] - p1[0])) + ((q[1] - p1[1]) * (p2[1] - p1[1]))
    Udenom = math.pow(p2[0] - p1[0], 2) + math.pow(p2[1] - p1[1], 2)
    U /= Udenom

    r = [0, 0]
    r[0] = p1[0] + (U * (p2[0] - p1[0]))
    r[1] = p1[1] + (U * (p2[1] - p1[1]))

    minx = min(p1[0], p2[0])
    maxx = max(p1[0], p2[0])
    miny = min(p1[1], p2[1])
    maxy = max(p1[1], p2[1])

    is_valid = (minx <= r[0] <= maxx) and (miny <= r[1] <= maxy)

    if is_valid:
        return r
    else:
        return None

Answer 10

既然你没有说明你正在使用哪种语言，我会给你一个通用答案：

只需要一个循环通过你的AB段中的所有点，从它们“绘制一个段”到C，得到从C到D和从A到D的距离，并应用pithagoras定理。如果AD ^ 2 + CD ^ 2 = AC ^ 2，那么你已经找到了自己的观点。

此外，您可以通过最短边开始循环来优化代码（考虑AD和BD边），因为您可以更早地找到这一点。