找到一个与平面中所有其他点不共线的点

Question

给定一般位置的平面中的N个点的列表（没有三个是共线的），找到一个与N个原始点的任何一对不共线的新点p。

我们显然无法搜索平面中的每个点，我开始找到可以用给定点形成的所有线的重合点，或者用它们制作圆圈的东西......我没有任何线索如何检查所有要点。

http://introcs.cs.princeton.edu/java/42sort/

中的问题

我在一本着名的算法书中发现了这个问题，这意味着它是可以回答的，但我想不出最佳解决方案，这就是为什么我在这里发布它以便如果有人知道它可以回答它

Answer 1

我能想到的最好的是N ^ 2算法。这是：

1. 选择一个容差 e 来控制你愿意接近由集合中的点组成的线的距离。
2. 计算您的一组积分的convex hull。
3. 选择一条平行于凸包一侧的直线L，距离船体 3e 。
4. 在L上选择一个P点，使P在凸包上L的投影之外。凸包在L上的投影是L的间隔.P必须放在这个区间之外。
5. 测试集合中的每对点。对于由2个测试点形成的特定线M，在P周围与半径 2e 的盘相交，沿着L进一步向外移动P直到M不再与盘相交。通过构造L，可以没有与L平行的线与L平行，所以总是这样做。
6. 如果M超过P超过L，则将P移动到该交叉点之外，再远远超过M不会通过光盘。
7. 完成所有这些操作后，选择距离 e 的点，在垂直于L的位置。它可以是共线，没有任何线条。

我将在步骤5中留下如何选择P沿L的下一个位置的详细信息，

你可以做一些明显的琐碎拒绝测试，只有测试线M与L“足够平行”才能进行更昂贵的检查。

最后，我应该提一下，可能有可能将P推得远远超出数值问题。在这种情况下，我建议的最好的方法是尝试在凸包外面的另一条线至少 3e 。

Answer 2

您可以使用简单的O（nlogn）算法实际解决它，然后我们将改进为O（n）。名称最底部的一个点（如果是平局，则选择具有较小x坐标的那个）。您现在可以使用CCW按顺时针顺序对其余点进行排序。现在当您从排序顺序处理每个点时，您可以看到在具有与点A和底轴不同的角度的任意两个连续点之间（让这些是U，V），没有点具有角度c，其中U <= c＆lt; = V.因此我们可以添加本节中的任何一点，并保证它不会与该集合中的任何其他点共线。 所以，你所需要的只是找到一对相邻的点，你就完成了。因此，在O（n）时间内找到A（这些应该是不同的）的最小和第二个最小角度，并选择它们之间的任何点。