计算已知色点之间的内部颜色值（双线性插值？）

Question

这似乎是一个非常基本的数学/图形问题，但由于某种原因，我似乎无法绕过它。

我得到的是四个线段，概述了一个四边形。每个线段上的每个顶点都具有已知的颜色值。为简单起见，我们假设每个线段有100个顶点（也就是100个已知颜色点）。示例可能如下所示：

我需要做的是，根据轮廓上的点的颜色，渲染每个内部像素着色的实心四边形。最明显的方法（不指定每100 * 100色点的顶点）将首先生成带有每个插值颜色值的100x100位图，然后将其作为纹理应用于四边形。我只是很难弄清楚如何计算这些内部颜色值。

似乎这是双线性插值的问题，但是因为我不是想在四个已知角点内找到值，而是在已知色点的“+”的交点处，我一直感到困惑。我的数学有点生疏：P

作为一个例子，我如何计算四边形中间点（50,50）处的点的颜色值 - 已知颜色点为（0,50），（50,0），（ 50,100）和（100,50）？这甚至是双线性插值，还是完全不同的呢？

提前致谢！

Answer 1

这看起来像带有boundary value problem的 Dirichet conditions （即，在边界处指定了值）。你无法使用双线性插值解决这个问题，因为它通常会变成（如果你有超过四个输入点），边缘像素附近的像素将不会有与其直接邻居连续的颜色。

你需要解决的主要问题是一个相当平滑的方程式，并且总是在边界处给出一个接近它的邻居的颜色值，并且有多个选项。显而易见的是Laplace's equation，它基本上就像将橡皮布固定在边界处每个颜色通道的值，然后让它放松。解决拉普拉斯并不是一件容易的事，因为你需要为每一组新的边界条件模拟橡皮布，但它很常见，所以你几乎可以用任何语言寻找求解器或例子。