我需要打印小于给定数字n的所有素数。我可以使用Eratothenes筛，但该算法的运行时间不是O（n）。这个问题有没有O（n）时间解决方案？
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Eratosthenes的Sieve具有时间复杂度O（n log log n）。函数log log n增长非常缓慢;例如，log（log（10 ^ 9））= 3.这意味着你可以有效地将时间复杂度的日志对数部分视为常量，并忽略它，给出时间复杂度“接近”O（n）
有各种算法在时间O（n）或O（n / log log n）下运行，包括Pritchard的轮筛和Atkins筛子。但是，恒定因素通常会使这些算法在实践中比Eratosthenes的Sieve慢。除非你需要极速的速度，并且你知道自己在做什么，并且愿意花很多时间去做，所以实际的答案就是Eratosthenes的筛子。
你的问题是你要打印素数列表。在这种情况下，输出将主导您选择的任何算法的运行时间。所以，帮自己一个忙，并实施一个简单的Eratosthenes筛选。
答案 1 :(得分：0)
我认为你不会找到一个算法来检查具有O（n）时间复杂度的素数的任意数。我很确定NSA（以及任何其他处理加密问题的组织）会对此不满意： - ）
获得O（n）或更好的方法的唯一方法是预先计算（例如）前五千万个素数（或使用someone else's already-precalculated list）并将其用作查找。我在本地有这样一个文件，只需要在它上面运行grep即可查看该数字是否为素数。它对任意数字没有帮助，但我很少使用那些大数字。当然，加密人会认为这样的名单对于他们的目的来说很小。
而且，如果你把它变成一个位图（前五千万个素数约为120M），你甚至可以通过简单地将数字转换为字节偏移和位掩码来降低O（1）的复杂度 - 一对位移和/或按位运算。
然而，在O（n）时间复杂度下，获得低于某个n的素数的列表肯定是可行的。 Atkin and Bernstein paper详细说明Sieve of Atkin声明：
我们引入了一种算法，该算法使用
O(N/log(log(N)))个加法来计算最多为N的素数...
实际上比O（n）稍微更好。
但是，它仍然不太可能与查找解决方案竞争。我的建议是使用Atkin或Eratosthenes来制作一个列表 - 这并不重要，因为你只会这样做一次所以性能不是很关键。
然后使用列表本身来检查素性。