为什么递归可枚举的语言不是不可判定的

Question

这是来自维基百科的可判定的定义

  

在可计算性理论中，一个不可判定的问题由一个家庭组成   例如，需要特定的是/否答案的实例   没有计算机程序，给出任何问题实例   输入，终止并输出有限的所需答案   步数。更正式地说，一个不可判定的问题是一个问题   其语言不是递归集

递归集是递归可枚举的一个子集。在递归集之外有一些递归可枚举的语言。那么为什么递归上不可识别的语言不可判断？

Answer 1

递归可枚举的语言/集也称为半可判定的。它们不是可判定的，因为没有一台机器可以查看输入并说是或否（正确）。半可判断意味着你可以编写一个查看输入的机器，如果输入在集合中则表示是，或者如果输入不在集合中则不能停止。 半可判定与可递归相同，与可判定等同于递归的方式相同： -

如果您有一个枚举递归可枚举语言的图灵机R，您可以创建一个新机器D，它接受可能在语言/集合中的输入，也可能不在其中。 D运行R直到R输出该组的第一个元素，然后D将其与其输入进行比较。如果匹配，则返回“是”结果。如果它们不匹配，它将继续运行R直到它获得下一个元素，依此类推。由于R从不停止（因为语言只是递归可枚举，而不是递归），D将回答是或不停止。

相反，如果你的图灵机D回答是或者没有停止，你可以制作一台新的机器R，它使用通常的技术一步一步地运行几个D的实例，各种输入：所有可能会或可能不会在集合中的元素。每次D的并行执行之一以“是”答案停止时，R输出D的输入，并继续对所有剩余输入执行D. R永远不会停止（因为有些输入D不会停止），但最终会输出D回答“是”的每个元素，即集合/语言中的每个元素。

不要混淆思考有三种（不相交的）种类：可判定的，半可判定的和不可判定的。有两种：可判定和不可判定的。所有可判定的套装也都是半可判定的（尽管这样说很不寻常）。一些不可判断的套装也是半可判定的。这就像说所有可枚举集都是递归可枚举的，并且一些非可枚举集是递归可枚举的。

Answer 2

半自由的问题（或等效的递归可枚举问题）可能是：

1. <强>可判定：如果问题及其补均为semidecidable（或递归可枚举），那么问题是可判定的（递归）

2. <强>不可判定：如果问题是semidecidable及其互补不semidecidable（即，不递归可枚举）

。

重要提示：请记住，可判定的（递归）问题也是半可否的（递归可枚举）。相反，如果问题不是递归可枚举的（半可除），则不是递归的（可判定的）。

维基百科条目所说的是：

  

调用部分可判定的问题不可判定   判定的。

一般来说，半可解决的问题（递归可枚举）可以是可判定的（递归的）或不可判定的（非递归的可枚举的）。

还要注意一个问题及其补充可能（或者只是其中一个）甚至不是半可判定的（非递归可枚举）。另请注意，如果问题是递归的，那么它的补码也是递归的。

Answer 3

我认为问题集的图形表示在这里可能更有帮助（不同集合的大小在这里没有意义）。

总结一下：

1. 每个可判定（递归）问题也是半可判定的（递归可枚举）。
2. 每个不可判定（递归）的半可判定（递归可枚举）问题都是不可判定的。
3. 有一些不可判断的问题，不是半可判定的（递归可枚举）。