递归可枚举语言的闭包属性

Question

请考虑以下问题：

让L1和L2成为两种语言。证明或反驳r.e.类的封闭性。

下的语言

1. 差异(L1 - L2)

2. 产品(L1 x L2) （尝试在L1的单词结束的假设下，以及不知道的情况下证明产品。

此处，封闭性意味着如果漫游机可以接受L1和L2，那么(L1 - L2)或(L1 x L2)

备注

我能够找到联合和补充的解决方案（联合：关闭;补充：未关闭），但不能用于上述（差异或产品）。

Answer 1

1）RE没有因差异而关闭。

证明： 假设它是。

让Sigma为任意RE语言L的字母表。 Sigma^*是RE（TM只检查输入字符串是否仅包含来自Sigma的符号，否则为空）。如果RE在差异下被关闭，特别是Sigma^* - L将是RE。但是任何RE语言都是递归的（可判定的）。但是，有不可判定的RE语言（参见暂停问题）。

2）RE在笛卡儿积之下关闭

证明草图： 首先假设oracle将输入字符串的正确分区提供为来自L1，L2的单词。 在这种情况下，运行TM T1，T2以检查L1，L2中的包含，依次对其输入进行检查。如果两个TM都终止，则此设置终止。

接下来假设没有oracle。对于任何给定的输入字符串w，有length(w)+1个可能的分区。在相应分区的输入上并行运行连接的TM length(w)+1，T1的{​​{1}}个副本，每个分区一个。如果至少有一个克隆的TM连接终止，则此设置终止，这相当于输入字符串部分是T2，L1的成员，分别为

。